Meetkunde in 3D > VlakkenUitleg
Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop
In
`((x), (y), (z)) = ((0),(0),(2)) + p*((3),(0),(text(-)1)) + q*((0),(2),(text(-)2))`
Je hebt gezien dat je dit vlak ook kunt beschrijven door de vergelijking `x+3y+3z=6` . Het bijzondere aan deze vergelijking is dat de coëfficiënten voor de `x` , `y` en `z` een vector vormen die loodrecht staat op beide richtingsvectoren van het vlak `MCDN` .
`vec(n)=((1), (3), (3))` staat loodrecht op `((3),(0),(text(-)1))` en `((0),(2),(text(-)2))` .
`vec(n)` staat daarom loodrecht op vlak `MCDN` en wordt wel de normaalvector van dit vlak genoemd.
Je kunt ook met behulp van de normaalvector de richtingsvectoren van het vlak bepalen. Daarvoor moet je twee verschillende, niet evenwijdige of in elkaars verlengde liggende, vectoren bepalen die loodrecht staan op de normaalvector.
De normaalvector is handig bij het berekenen van de afstand van een punt tot een vlak.
Stel, je wilt de afstand berekenen van punt `O` tot vlak `MCDN` . Dit is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van punt `O` tot aan het vlak.
Eerst stel je een vectorvoorstelling op van lijn `l` door `O` loodrecht op het vlak:
`l: ((x), (y), (z))=((0), (0), (0))+p((1), (3), (3))`
Voor de richtingsvector gebruik je een normaalvector van het vlak.
Bepaal vervolgens het snijpunt `S` van lijn `l` met het vlak.
Je vindt `S(6/19, 18/19, 18/19)` .
De afstand van `O` tot vlak `MCDN` is `|OS|=6/19sqrt(19)~~1,38` .
Bestudeer
Controleer dat de normaalvector `vec(n)=((1), (3), (3))` inderdaad loodrecht staat op beide richtingsvectoren.
Andersom kun je de normaalvector van het vlak ook rechtstreeks uit de richtingsvectoren
afleiden. Bekijk de vectorvoorstelling van vlak
`MCDN`
nogmaals.
De richtingsvectoren zijn
`vec(DN)=((3), (0), (text(-)1))`
en
`vec(DC)=((0), (2), (text(-)2))`
.
Neem aan dat de normaalvector van het vlak
`vec(n)=((a),(b),(c))`
is. Deze normaalvector moet loodrecht staan op elk van de twee richtingsvectoren,
dus hun inproduct moet
`0`
zijn.
Welke twee vergelijkingen in `a` , `b` en `c` levert dit op? Controleer dat `a=1` , `b=3` en `c=3` hier inderdaad aan voldoen.
Stel nu zelf een vergelijking van het vlak `MCDN` op.
Maak op bovenstaande manier ook een vergelijking van vlak `EFC` .
In
Stel een vectorvoorstelling op van lijn `l` .
Bereken het snijpunt `S` van lijn `l` met vlak `MCDN` .
Reken na dat `text(d)(O,MCDN)~~1,38` .
Bereken in twee decimalen de afstand van punt `B` naar het vlak `MCDN` .
Een normaalvector van een vlak kun je berekenen door gebruik te maken van het uitwendig product van beide richtingsvectoren. Het uitwendig product (of uitproduct) van twee vectoren stelt je in staat om snel een normaalvector van een vlak te berekenen.
Het uitproduct van twee vectoren `vec(a)=((a_x),(a_y),(a_z))` en `vec(b)=((b_x),(b_y),(b_z))` is `vec(a)xxvec(b)=((a_y b_z - a_z b_y),(a_z b_x - a_x b_z),(a_x b_y - a_y b_x))` .
Met behulp van het inproduct kun je nagaan dat de vector `vec(a)xxvec(b)` loodrecht op zowel `vec(a)` als `vec(b)` staat. Het uitproduct is dus een normaalvector van twee gegeven vectoren. Zo kun je het uitproduct van twee richtingsvectoren gebruiken om de normaalvector van een vlak te vinden.
Laat met behulp van het inproduct zien, dat het uitproduct `vec(a) xx vec(b)` van twee vectoren `vec(a)` en `vec(b)` een vector is die inderdaad loodrecht op zowel `vec(a)` als `vec(b)` staat.
Vlak `V` gaat door de punten `P(3 , 4 , 8 )` , `Q(6 , 1 , 5 )` en `R(1 , 5 , 4 )` . Stel met behulp van het uitproduct een vergelijking van dit vlak op.