`M(3, 1, 0)` invullen in `x+3y+3z=6` geeft `3+3=6` , dit klopt.

`MCDN: ((x), (y), (z)) = ((0),(2),(0)) + u*((3), (text(-)1), (0)) + v*((0), (text(-)2), (2))`

Voor elk punt `Q` in het vlak `EFC` geldt: `vec(OQ)=vec(OE)+r*vec(EF)+s*vec(EC)` .
Dus `EFC: ((x),(y),(z))=((3),(0),(2))+r((0),(2),(0))+s((text(-)3),(2),(text(-)2))`

Een punt `Q(x, y, z)` in het vlak is te schrijven als `(3-3s, 2r+2s, 2-2s)` .
Uit `x=3-3s` volgt dat `s=1-1/3x` en vul je dit in bij `z=2-2s` dan krijg je `z=2-2(1-1/3x)=1/3x` , ofwel `EFC: 2x-3z=0` .

`(x,y,z)=(3 p, 0 , 2 -p)` invullen in `x+3 z=6` geeft `6 =6` (en dit klopt voor elke `p` ).

Of `x=3p` geeft `p=1/3x` . Vult dit in `z=2-p` in, dit geeft `z=2-1/3x` en dus ook `x+3z=6` .

Bijvoorbeeld `(3, 1, 1)` en `(6, 1, 0)`

Bijvoorbeeld `y=0` .

`((1), (3), (3))*((3), (0), (text(-)1))=0` en `((1), (3), (3))*((0), (2), (text(-)2))=0` , dus het klopt.

`3a-c=0` en `2b-2c=0` .

De vergelijking ziet er uit als `x+3y+3z=d` .
Je weet ook dat punt `C(0, 2, 0)` in het vlak ligt, dus hieruit volgt dat `d=6` .
Dus `MCDN: x+3y+3z=6` .

`EFC: ((x),(y),(z))=((3),(2),(2))+q((0),(1),(0))+r((text(-)3),(0),(text(-)2))`
Zoek een normaalvector `vec(n)=((a), (b), (c))` van het vlak `EFC` die loodrecht staat op `((0),(1),(0))` en op `((text(-)3),(0),(text(-)2))` . Dus, omdat het inproduct `0` moet zijn, geldt: `b=0` en `text(-)3a=text(-)2c` .
Neem bijvoorbeeld `vec(n)=((2), (0), (text(-)3))` .
Dus `EFC: 2x-3z=d` .
Je weet dat het punt `E` in het vlak ligt, dus door deze coördinaten in te vullen zie je dat `d=0` .

Dus `EFC: 2x-3z=0` .

`l: ((x), (y), (z))=((0), (0), (0))+p((1), (3), (3))`

Een punt van lijn `l` is te schrijven als `S(p, 3p, 3p)` en ligt in het vlak `MCDN` als er voldaan is aan de vergelijking `x+3y+3z=6` .

Door in te vullen vind je `p+9p+9p=6` , ofwel `p=6/19` .
Vul dit in bij punt `S` in, dan vind je `S(6/19, 18/19, 18/19)` .

`text(d)(O,MCDN)=|OS|=sqrt((6/19)^2+(18/19)^2+(18/19)^2)=6/19sqrt(19)~~1,38`

Stel eerst een vectorvoorstelling op van lijn `m` door `B` loodrecht op het vlak:

`m: ((x), (y), (z))=((3), (2), (0))+p((1), (3), (3))`

Bepaal vervolgens het snijpunt `S` van lijn `m` met het vlak.

Een punt op `m` is te schrijven als `(3+p, 2+3p, 3p)` en ligt in het vlak `MCDN` als er voldaan is aan de vergelijking `x+3y+3z=6` .

Door in te vullen vind je: `3+p+3(2+3p)+3(3p)=6` en `p=text(-)3/19` .

Je vindt `S(54/19, 29/19, text(-)9/19)` .

`text(d)(B, MCDN)=|BS|=sqrt((54/19-3)^2+(29/19-2)^2+(text(-)9/19)^2)=3/19sqrt(19)~~0,69`

Het inproduct van `vec(a) xx vec(b)` en `vec(a)` is:
`(a_y b_z - a_z b_y)*a_x + (a_z b_x - a_x b_z)*a_y + (a_x b_y - a_y b_x)*a_z =`
`a_y b_z a_x - a_z b_y a_x + a_z b_x a_y - a_x b_z a_y + a_x b_y a_z - a_y b_x a_z = 0` .

En hetzelfde geldt voor het inproduct van `vec(a) xx vec(b)` en `vec(b)` .

`vec(PQ)=((3),(text(-)3),(text(-)3))` en `vec(PR)=((text(-)2),(1),(text(-)4))` dus `vec(PQ) xx vec(PR)=((15),(6),(text(-)3))` en `V: 15 x+6 x-3 z=33`

Laat punt `P` in vlak `ANF` liggen, dan `ANF: vec(OP)=vec(OA)+r*vec(AN)+s*vec(AF)` .
Dus `ANF: ((x), (y), (z))=((4), (0), (0))+r((text(-)4), (3), (8))+s((0), (6), (8))=((4), (0), (0))+r((text(-)4), (3), (8))+s((0), (3), (4))`

Het vlak gaat door de punten `A` , `N` en `M` .
`M(0, 6, 4)` , want dat is de plaatsvector. Als je vanuit `M` in de richting `((0), (text(-)3), (4))` loopt, dan kom je uit bij punt `N` . En als je vanuit `M` in de richting `((2), (text(-)3), (text(-)2))` loopt, dan kom je uit bij punt `A` .

Omdat de punten `A` , `B` en `C` op één lijn liggen.
Dat zie je aan de vectoren `vec(AB)=((3), (text(-)9), (text(-)3))` en `vec(AC)=((text(-)4), (12), (text(-)4))` .
Deze zijn een veelvoud van elkaar ( `vec(AC)=text(-)4/3*vec(AB)` ).

Neem als plaatsvector `vec(OA)=((text(-)1), (3), (5))` en richtingsvectoren `vec(AB)=((3), (text(-)9), (text(-)3))` en `vec(AD)=((1), (text(-)1), (text(-)7))` .
Dus een vectorvoorstelling van `V` is: `((x), (y), (z))=((text(-)1), (3), (5))+p((3), (text(-)9), (text(-)3))+q((1), (text(-)1), (text(-)7))`

Zoek een normaalvector `vec(n)=((a), (b), (c))` die loodrecht staat op de twee richtingsvectoren (inproduct moet `0` zijn).
Dus vind waarden `a` , `b` en `c` zo, dat: `3a-9b-3c=0` en
`a-b-7c=0` .

`a=b+7c` geeft `3(b+7c)-9b-3c=18c-6b=0` .
Als je bijvoorbeeld `b=3` kiest, dan is `c=1` en `a=10` .
Dus vlak `V: 10x+3y+z=d` .
Door bijvoorbeeld punt `A(text(-)1, 3, 5)` in te vullen vind je dat `d=4` .

Dus vlak `V: 10x+3y+z=4` .

(Je kunt voor het vinden van de normaalvector van `V` ook meteen werken met het uitproduct van beide richtingsvectoren.)

Er moet gelden: `4-2r=4-4s` , `3r=6-3s` en `8-2r=8s` .

Hieruit volgt `s=2/3` .
Deze waarde van `s` invullen bij `BN` geeft snijpunt `S(4/3, 4, 16/3)` .

`3*4/3+4*4+3*16/3=36` , dit klopt.

Een punt `P` op `FG` kun je schrijven als `(p, 6, 8)` . Vul dit in de vergelijking van het vlak in.
Je krijgt `3p+24+24=36` , ofwel `p=text(-)4` . Dus in punt `(text(-)4, 6, 8)` .

Zoek een normaalvector `vec(n)` van vlak `V` .
Het uitproduct van `vec(r_1)=((1), (text(-)5), (3))` en `vec(r_2)=((2), (2), (1))` is `vec(r_1)xxvec(r_2) = ((text(-)11),(5),(12))` .
Dus `V: text(-)11x+5y+12z=d` .
Door bijvoorbeeld punt `(text(-)1, 3, 4)` in te vullen vind je dat `d=74` .
Dus `V: text(-)11x+5y+12z=74`

Stel de vectorvoorstellingen van `l` en `m` aan elkaar gelijk.
Dit geeft: `text(-)1+3u=2+4v` , `2u=3+2v` en `5+2u=2+6v` .

Hieruit volgt `v=3/2` (en `u=3` ).
Vul deze waarde in bij `m` , dan krijg je het snijpunt `S(8, 6, 11)` .

Controleren of `S` in `V` ligt: `text(-)11*8+5*6+12*11=74` , dit klopt.

Vul de coördinaten van `P` in de vergelijking in, je krijgt:
`text(-)22+5p+6=74` , dit geeft `p=18` .

`ax+by+cz=d`

`A` invullen geeft: `3a+c=d` .
`B` invullen geeft: `5b=d` .
`C` invullen geeft: `2b+6c=d` .

Kies bijvoorbeeld `d=10` . Dan is `b=2` , `c=1` en `a=3` .
Dus `V: 3x+2y+z=10` .

Vul de coördinaten van de punten `A` , `B` en `C` in en je ziet dat het klopt.

De punten `A(text(-)2, 0, 3)` , `B(0, 4, 0)` en `C(6, 1, 0)` invullen in `ax+by+cz=d` geeft achtereenvolgens:
`text(-)2a+3c=d` , `4b=d` en `6a+b=d` .
Kies bijvoorbeeld `b=2` , dan `d=8` , `a=1` en `c=10/3` .
Dit geeft vlak `x+2y+10/3 z=8` . Als je nu alles met `3` vermenigvuldigt dan krijg je `3x+6y+10z=24` .

Richtingsvectoren `OBT` zijn bijvoorbeeld `vec(r_1)=((1),(1),(0))` en `vec(r_2)=((1),(0),(1))` .

`vec(n)=vec(r_1)xxvec(r_2) = ((1),(text(-)1),(text(-)1))` .

Punt `(0, 0, 0)` invullen geeft `OBT: x - y - z = 0` .

Vervolgens `(4t, 4 - 4t, 2t)` in deze vergelijking invullen en je vindt `t=2/3` en `S(8/3, 4/3, 4/3)` .

Voor het snijpunt moet gelden (stel de beide vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk):
`4t=4p+4q` , `4-4t=4p` en `2t=4q` .

Uit `t=2q` volgt dan `p=q` en `4-8q=4q` . Dus `q=1/3` en dus `t=2/3` .
Vul dit bij de vectorvoorstelling van `CM` in en je vindt ook `S(8/3, 4/3, 4/3)` .

`OM` : `((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + u((4),(0),(2))`

`BCT` : `((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + v((text(-)4),(0),(0)) + w((0),(text(-)4),(4))`

Voor het snijpunt moet gelden: `4u=4-4v` , `0=4-4w` en `2u=4w` .

Hieruit volgt `w=1` , dus `u=2` . Vul dit in bij `OM` en je vindt snijpunt `S(8, 0, 4)` .

Bijvoorbeeld de `x` -as: `((x), (y), (z))= lambda((1), (0), (0))` .

Voor snijpunt moet gelden:
`lambda=4-4v` , `0=4-4w` en `0=4w` .

Hieruit volgt `w=1` en `w=0` , dat kan niet. Dus snijden ze elkaar niet.

Je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden, namelijk:
(1) `3+2p=2q+r` , (2) `3-p=1+3q-r` en (3) `text(-)1+2p=5r` .

Uit (3) volgt `p=5/2r+1/2` , dit invullen bij (1) geeft `3+2(5/2r+1/2)=2q+r` , ofwel `q=2r+2` .
Beide invullen bij (2) geeft `3-(5/2r+1/2)=1+3(2r+2)-r` . Hieruit volgt `r=text(-)3/5` , dan is `p=text(-)1` .
Deze waarde voor `p` invullen bij lijn `l` geeft snijpunt `S(1, 4, text(-)3)` .

Het uitproduct van de richtingsvectoren bepaalt de normaalvector van vlak `V` .
Een vergelijking van `V` is daarom `text(-)3x + 2y + z = d` .
Door punt `(0, 1, 0)` in te vullen vind je `d=2` .
Dus `V: text(-)3x+2y+z=2` .

Punt `P(3+2p, 3-p, text(-)1+2p)` van lijn `l` moet in vlak `V` liggen, dus moet er gelden:
`text(-)3(3+2p)+2(3-p)+(text(-)1+2p)=2` , hieruit volgt dat `p=text(-)1` .
Deze waarde voor `p` weer invullen bij lijn `l` en ook nu vind je `S(1, 4, text(-)3)` .

`AB` loopt evenwijdig aan `OC` dat in vlak `OCT` ligt, dus `AB` loopt evenwijdig met vlak `OCT` .

Neem bijvoorbeeld punt `B` van de lijn `AB` en bereken de afstand van dit punt tot vlak `OCT` .
`OCT: ((x),(y),(z)) = q((0),(1),(0)) + r((1),(0),(1))`
Een normaalvector van `OCT` is `vec(n)=((1), (0), (text(-)1))` .
Een vergelijking van vlak `OCT` is dan: `x-z=0` .
Dus de loodlijn `l` door `B` loodrecht op vlak `OCT` is `((x), (y), (z))=((4), (4), (0))+s((1), (0), (text(-)1))` .
Snijd deze lijn met vlak `OCT` , dit geeft: `4+s+s=0` , ofwel `s=text(-)2` .
Deze waarde van `s` invullen bij `l` geeft snijpunt `S(2, 4, 2)` .

`vec(BS)=((text(-)2), (0), (2))` en dus `text(d)(B, OCT)=|vec(BS)|=sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)` .

`P(8, 0, 2)` en `Q(0, 2, 4)` .

`PQ: ((x),(y),(z))=((6),(0),(2))+t((text(-)3),(1),(1))`

`ACD: ((x),(y),(z))=((6),(0),(0))+p((text(-)3),(2),(0))+q((text(-)3),(0),(2))`

Manier 1:
Punt `P` van vlak `ACD` is te schrijven als `(6-3p-3q, 2p, 2q)` .
Dus `y=2p` en `z=2q` .
Substitueer `p=1/2y` en `q=1/2z` in `x=6-3p-3q` . Je krijgt `x=6-3/2y-3/2z` .
Herschrijven geeft: `2x+3y+3z=12` .

Manier 2:
Gebruik het uitproduct van beide richtingsvectoren.
Dit geeft `vec(n)=((2), (3), (3))` .
De vergelijking van het vlak is nu: `2x+3y+3z=d` .
`d` vind je door een punt van het vlak in te vullen, neem punt `(6, 0, 0)` . Je vindt dat `d=12` .
Dus: `2x+3y+3z=12` .

Een punt van lijn `PQ` is te schrijven als `(3 t, 2 -t, 4 -t)` .
Als je dit invult in `2 x+3 y+3 z=12` geeft dat een tegenspraak.

Dit betekent dat lijn `PQ` vlak `ACD` niet snijdt en dus is lijn `PQ` evenwijdig met vlak `ACD` .

Andere manier:
Lijn `PQ` heeft als richtingsvector `((text(-)6), (text(-)2), (2))` .
Dit is een lineaire combinatie van de twee richtingsvectoren van vlak `ACD` , want `((text(-)6), (2), (2))=((text(-)3),(2),(0))+((text(-)3),(0),(2))` .
Dus lopen ze evenwijdig.

Maak een lijn `m` door `F` loodrecht op vlak `ACD` .
Hiervoor heb je een normaalvector nodig van dat vlak. Bij c heb je die gevonden, namelijk `vec(n)=((2), (3), (3)).`
Lijn `m: ((x), (y), (z))=((6), (4), (4))+q((2), (3), (3))` .
Deze moet je snijden met het vlak `ACD` om het punt `S` te vinden dat het dichtst bij punt `F` ligt.
Een punt op `m` is te schrijven als `(6+2q, 4+3q, 4+3q)` . Als je dit invult in vlak `ACD: 2x+3y+3z=12` krijg je:

`2(6+2q)+3(4+3q)+3(4+3q)=12` en `22q=text(-)24` , zodat `q=text(-)12/11` .

En dus `S(42/11, 8/11, 8/11)` en `vec(FS)=((24/11), (36/11), (36/11))` .

Dus afstand van punt `F` tot vlak `ACD` is: `|vec(FS)|=sqrt((24/11)^2+(36/11)^2+(36/11)^2)~~5,12` .

`PQ: ((x),(y),(z))=((6),(0),(2))+s((text(-)3),(1),(1))`
`BG: ((x),(y),(z))=((6),(4),(0))+t((text(-)6),(0),(4))`

Voor een snijpunt moet gelden: `6-3s=6-6t` , `s=4` en `2+s=4t` .

`s=4` invullen in de derde vergelijking geeft `t=3/2` . Deze waarden voor `t` en `s` invullen in de eerste vergelijking geeft een tegenspraak ( `text(-)6≠text(-)3` ). Dus snijden de lijnen elkaar niet.

Vector `((3), (text(-)2), (13))` staat loodrecht op beide richingsvectoren.

Dus een vergelijking van he vlak is `3x-2y+13z=d` .

Vul punt `(3, 4, 0)` in. Dit geeft `d=1` .

`V: 3x-2y+13z=1` .

Neem als steunvector de vector naar een punt dat in het vlak ligt (en dus voldoet aan de vergelijking), bijvoorbeeld `((5), (0), (0))` .
De twee richtingsvectoren die je nodig hebt moeten loodrecht staan op de normaalvector van vlak `W` , dus op `vec(n)=((2), (4), (text(-)1))` .

Neem bijvoorbeeld `vec(r_1)=((2), (text(-)1), (0))` en `vec(r_2)=((0), (1), (4))` (dit kunnen ook twee andere zijn).
Dus een mogelijke vectorvoorstelling van vlak `W` is:

`((x), (y), (z))=((5), (0), (0))+p((2), (text(-)1), (0))+q((0), (1), (4))`

Je kunt `vec(OP)` gebruiken als normaalvector van vlak `V` .

`vec(OP)=((4), (2), (4))` , dus de vergelijking van vlak `V` is te schrijven als `4x+2y+4z=d` .
`d` vind je door punt `G(0, 4, 4)` in te vullen. Dat geeft `d=24` .
Dus vlak `V: 4x+2y+4z=24` of `V: 2x+y+2z=12` .

Kies twee richtingsvectoren die loodrecht staan op `((2), (1), (2))` .
Neem bijvoorbeeld: `((1), (text(-)2), (0))` en `((1), (0), (text(-)1))` .

Dus `V: ((x), (y), (z))= ((0), (4), (4))+p((1), (text(-)2), (0))+q((1), (0), (text(-)1))`

Snijd vlak `V` met de twaalf lijnen waar de ribben van de kubus op liggen en kijk welke punten op de ribbe liggen.
Met `OA` , dan `y=z=0` : `x=6` , dit geeft `(6, 0, 0)` , dit voldoet niet.
Met `AB` , dan `x=4` en `z=0` : `y=4` , dit geeft `B(4, 4, 0)` .
Met `BC` en `BF` is ook punt `B` .
Met `OC` , dan `x=z=0` : `y=12` , dit geeft `(0, 12, 0)` , dit voldoet niet.
Met `OD` , dan `x=y=0` : `z=6` , dit geeft `(0, 0, 6)` , dit voldoet niet.
Met `AE` , dan `x=4` en `y=0` : `z=2` , dit geeft `R(4, 0, 2)` .
Met `CG` , dan `x=0` en `y=4` : `z=4` , dit geeft `G(0, 4, 4)` .
Met `FG` en `DG` ook punt `G` .
Met `DE` , dan `y=0` en `z=4` : `x=2` , dit geeft `Q(2, 0, 4)` .
Met `EF` , dan `x=z=4` : `y=text(-)4` , dit geeft `(4, text(-)4, 4)` , dit voldoet niet.

`BG: ((x),(y),(z))=((0),(4),(4))+a((1),(0),(text(-)1))` , `BR: ((x),(y),(z))=((4),(4),(0))+b((0),(2),(text(-)1))` , `RQ: ((x),(y),(z))=((4),(0),(2))+c((1),(0),(text(-)1))` , `QC: ((x),(y),(z))=((0),(4),(4))+d((text(-)1),(2),(0))`

`(0, 0, 6)` , `(0, 12, 0)` en `(6, 0, 0)`

Snijd `OP` met vlak `V` .
`OP: ((x), (y), (z))=p((4), (2), (4))` . Een punt van `OP` kun je schrijven als `(4p, 2p, 4p)` .
Invullen in de vergelijking van vlak `V` geeft: `2(4p)+2p+2(4p)=18p=12` . Dus `p=2/3` .
Het snijpunt `S` van `OP` met vlak `V` is dus `S(8/3, 4/3, 8/3)` .

`PS=((4/3), (2/3), (4/3))` en `text(d)(P, V)=|PS|=sqrt((4/3)^2+(2/3)^2+(4/3)^2)=sqrt(4)=2` .

`((x),(y),(z))=((1),(0),(0))+p((1),(1),(1))+q((1), (2), (0))` .
Uitproduct van `vec(r_1)=((1),(1),(1))` en `vec(r_1)=((1),(2),(0))` is `vec(r_1) xx vec(r_2)=((text(-2)),(1),(1))` .
Dus het vlak is te schrijven als `2x-y-z=d` .
Door bijvoorbeeld punt `(1, 0, 0)` in te vullen vind je `d=2` .

Dus vlak: `2x-y-z=2` .

`((2), (1), (text(-)3))` en `((text(-)4), (text(-)2), (6))` hebben dezelfde richting, dus is het een lijn.
Lijn: `((x),(y),(z))=t((2),(1),(text(-)3))` .

`((x),(y),(z))=((1),(4),(text(-)1))+p((text(-)1),(text(-)1),(2))+q((3),(1), (text(-)4))`
Normaalvector `vec(n)=((1), (1), (1))` , dus het vlak is te schrijven als `x+y+z=d` .
Door bijvoorbeeld punt `(1, 4, text(-)1)` in te vullen vind je `d=4` .

Dus vlak: `x+y+z=4` .

`((x),(y),(z))=((1),(0),(1))+p((2),(text(-)3),(4))+q((text(-)1),(0), (0))`

Normaalvector `vec(n)=((0), (4), (3))` , dus het vlak is te schrijven als `4y+3z=d` .
Door bijvoorbeeld punt `(1, 0, 1)` in te vullen vind je `d=3` .

Dus vlak: `4y+3z=3` .

Lijn: `((x),(y),(z))=((1),(2),(0))+p((-1),(1),(0))`

Vectorvoorstelling vlak `ABP: ((x), (y), (z))=((4), (0), (0))+p((0), (1), (0))+q((text(-)3), (1), ( 3))` .
Normaalvector `vec(n)=((1), (0), (1))` . Dus vergelijking is te schrijven als: `x+z=d` .
`d=4` vind je door punt `A(4, 0, 0)` in te vullen. Dus `V: x+z=4` .
Lijn `CT: ((x), (y), (z))=((0), (4), (0))+r((2), (text(-)2), (6))` .
Snijd deze lijn met vlak `V` , dit geeft `2r+6r=4` en dus `r=1/2` .
Invullen in lijn `CT` geeft `Q(1, 3, 3)` .

`vec(AB)=((0), (4), (0))` is een veelvoud van `vec(PQ)=((0), (2), (0))` en dus zijn `AB` en `PQ` evenwijdige lijnstukken. Dus `ABQP` is een trapezium.

`|AB|=4` en `|PQ|=2` en `|AP|=sqrt((text(-)3)^2+1^2+3^2)=sqrt(19)` .
`h=sqrt((sqrt(19))^2-1^2))=sqrt(18)`
Oppervlakte `ABPQ` is `3sqrt(18)=9sqrt(2)` .

Lijn `l` door `T` loodrecht op vlak `V` opstellen: `((x), (y), (z))=((2), (2), (6))+s((1), (0), (1))` .
Deze lijn snijden met vlak `V` geeft: `2+s+6+s=2s+8=4` , dit geeft `s=text(-)2` .
Invullen in lijn `l` geeft snijpunt `S(0, 2, 4)` .

`text(d)(T, ABQP)=|TS|=sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)` .

`Q` vind je door vanuit `B` `1/3` keer de richting van vector `BT` op te gaan.
`((0), (6), (0))+1/3((0), (text(-)6), (6))=((0), (4), (2))` .

Dus `Q(0, 4, 2)` .

Vectorvoorstelling van vlak `V: ((x), (y), (z))= ((0), (text(-)6), (0))+r((3), (6), (3))+s((0), (10), (2))` .
Normaalvector van vlak `V` is `vec(n)=((3), (1), (text(-5)))` .
Dus vergelijking van vlak `V` is te schrijven als: `3x+y-5z=d` .
Je vindt `d=text(-)6` door punt `D(0, text(-)6, 0)` in te vullen.
Dus `V: 3x+y-5z=text(-)6` .

`BC:((x),(y),(z))=((0),(6),(0))+p((1),(1),(0))` snijden met vlak `V` geeft:
`3p+6+p=4p+6=text(-)6` . Dus `p=text(-)3` .
Dit invullen in `BC` geeft snijpunt `R(text(-)3, 3, 0)` .

Maak lijn `l` door `O` loodrecht op vlak `V` .
`l: ((x), (y), (z))=u((3), (1), (text(-)5))` .
Deze lijn snijden met vlak `V` geeft: `3(3u)+u-5(text(-)5u)=text(-)6` . Dus `u=text(-)6/35` .

Invullen in lijn `l` geeft snijpunt `(text(-)18/35, text(-)6/35, 30/35)` .

Dus `text(d)(O, V)=sqrt((text(-)18/35)^2+(text(-)6/35)^2+(30/35)^2)=sqrt(1260/35)=6/35sqrt(35)~~1,01` .

`V: 3x+y-5z=text(-)6` snijden met `AC: ((x), (y), (z))=v((1), (0), (0))` .
Je krijgt: `3v=text(-)6` , dus `v=text(-)2` . Invullen in `AC` geeft `S(text(-)2, 0, 0)` .

`|PS|=sqrt((text(-)5)^2+0^2+(text(-)3)^2)=sqrt(34)`

Vectorvoorstelling maken van lijn `l` door `A` naar het midden `M(0, 1/2b, 1/2c)` van `BC` .
`l: ((x), (y), (z))=((a), (0), (0))+p((text(-)a), (1/2b), (1/2c))` .
Vectorvoorstelling maken van lijn `m` door `B` naar het midden `N(1/2a, 0, 1/2c)` van `AC` .
`m: ((x), (y), (z))=((0), (b), (0))+q((1/2a), (text(-)b), (1/2c))` .

Voor het zwaartepunt moet je lijn `l` en lijn `m` met elkaar snijden, dit betekent dat:

(1) `a-ap=1/2qa`
(2) `1/2pb=b-qb`
(3) `1/2pc=1/2qc`

Uit (3) volgt `p=q` , invullen in (2) geeft `3/2bq=b` , ofwel `q=2/3=p` .
Controleer door dit in te vullen in (1) geeft `1/3a=1/3a` , dit klopt ook.
Vul `p=2/3` in bij lijn `l` geeft `Z=(1/3a, 1/3b, 1/3c)` .

`|OZ|=sqrt((1/3a)^2+(1/3b)^2+(1/3c)^2)=sqrt(1/9(a^2+b^2+c^2))=1/3sqrt(a^2+b^2+c^2)` .

`S(4 , 3 , 7 )`

`3 x+8 y+12 z=120`

`(12 , 9 , 0 )`

`|PQ|=sqrt(1825)`

`text(d)(A, v)=96/217 sqrt(217)`