Meetkunde in 3D > Vlakken
1234567Vlakken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Vul de coördinaten in.

b

Nee

c

Eigen antwoord.

d

e

Een lijn is een snijlijn van twee vlakken. Je hebt er daarom twee vergelijkingen in , en voor nodig.

f

Een vlak waarin elke waarde kan aannemen, onafhankelijk van de waarden van en . Je krijgt dus een vlak evenwijdig aan de -as.

Opgave 1
a

invullen in geeft , dit klopt.

b

c

Voor elk punt in het vlak geldt: .
Dus

Een punt in het vlak is te schrijven als .
Uit volgt dat en vul je dit in bij dan krijg je , ofwel .

Opgave 2
a

invullen in geeft (en dit klopt voor elke ).

Of geeft . Vult dit in in, dit geeft en dus ook .

b

Bijvoorbeeld en

c

Bijvoorbeeld .

Opgave 3
a

en , dus het klopt.

b

en .

c

De vergelijking ziet er uit als .
Je weet ook dat punt in het vlak ligt, dus hieruit volgt dat .
Dus .

d


Zoek een normaalvector van het vlak die loodrecht staat op en op . Dus, omdat het inproduct moet zijn, geldt: en .
Neem bijvoorbeeld .
Dus
Je weet dat het punt in het vlak ligt, dus door deze coördinaten in te vullen zie je dat .

Dus .

Opgave 4
a

b

Een punt van lijn is te schrijven als en ligt in het vlak als er voldaan is aan de vergelijking .

Door in te vullen vind je , ofwel .
Vullen dit in bij punt in, dan vind je .

c

d

Stel eerst een vectorvoorstelling op van lijn door loodrecht op het vlak:

Bepaal vervolgens het snijpunt van lijn met het vlak.

Een punt op is te schrijven als en ligt in het vlak als er voldaan is aan de vergelijking .

Door in te vullen vind je: en .

Je vindt .

Opgave 5
a

Het inproduct van en is:

.

En hetzelfde geldt voor het inproduct van en .

b

en dus en

Opgave 6
a

Laat punt in vlak liggen, dan
Dus

b

Het vlak gaat door de punten , en .
, want dat is de plaatsvector. Als je vanuit in de richting loopt, dan kom je uit bij punt . En als je vanuit in de richting loopt, dan kom je uit bij punt .

Opgave 7

Neem als steunvector de vector naar een punt dat in het vlak ligt (en dus voldoet aan de vergelijking), bijvoorbeeld .
De twee richtingsvectoren die je nodig hebt moeten loodrecht staan op de normaalvector van vlak , dus op .

Neem bijvoorbeeld en (dit kunnen ook twee andere zijn).
Dus een mogelijke vectorvoorstelling van vlak is: .

Opgave 8
a

Omdat de punten , en op één lijn liggen.
Dat zie je aan de vectoren en .
Deze zijn een veelvoud van elkaar ().

b

Neem als plaatsvector en richtingsvectoren en .
Dus een vectorvoorstelling van is:

Zoek een normaalvector die loodrecht staat op de twee richtingsvecoren (inproduct moet zijn).
Dus vind waarden , en zo, dat: en
.

geeft .
Als je bijoorbeeld kiest, dan is en .
Dus vlak .
Door bijvoorbeeld punt in te vullen vind je dat .

Dus vlak .

(Je kunt voor het vinden van de normaalvector van ook meteen werken met het uitproduct van beide richtingsvectoren.)

Opgave 9
a

Er moet gelden: , en .

Hieruit volgt .
Deze waarde van invullen bij geeft snijpunt .

b

, dit klopt.

c

Een punt op kun je schrijven als . Vul dit in de vergelijking van het vlak in.
Je krijgt , ofwel . Dus in punt .

Opgave 10
a

Zoek een normaalvector van vlak .
Het uitproduct van en is .
Dus
Door bijvoorbeeld punt in te vullen vind je dat .
Dus

b

Stel de vectorvoorstellingen van en aan elkaar gelijk.
Dit geeft: , en .

Hieruit volgt (en ).
Vul deze waarde in bij , dan krijg je het snijpunt .

Controleren of in ligt: , dit klopt.

c

Vul de coördinaten van in de vergelijking in, je krijgt:
, dit geeft .

Opgave 11
a

b

invullen geeft:
invullen geeft:
invullen geeft:

c

Kies bijvoorbeeld . Dan is , en .
Dus .

Vul de coördinaten van de punten , en in en je ziet dat het klopt.

d

De punten , en invullen in geeft achtereenvolgens:
, en .
Kies bijvoorbeeld , dan , en .
Dit geeft vlak . Als je nu alles met vermenigvuldigt dan krijg je .

Opgave 12
a

Richtingsvectoren zijn bijvoorbeeld en .

.

Punt invullen geeft .

Vervolgens in deze vergelijking invullen en je vindt en .

b

Voor het snijpunt moet gelden (stel de beide vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk):
, en .

Uit volgt dan en . Dus en dus .
Vul dit bij de vectorvoorstelling van in en je vindt ook .

c

:

:

Voor het snijpunt moet gelden: , en .

Hieruit volgt , dus . Vul dit in bij en je vindt snijpunt .

d

Bijvoorbeeld de -as: .

Voor snijpunt moet gelden:
, en .

Hieruit volgt en , dat kan niet. Dus snijden ze elkaar niet.

Opgave 13
a

Je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden, namelijk:
(1) , (2) en (3) .

Uit (3) volgt , dit invullen bij (1) geeft , ofwel .
Beide invullen bij (2) geeft . Hieruit volgt , dan is .
Deze waarde voor invullen bij lijn geeft snijpunt .

b

Het uitproduct van de richtingsvectoren bepaalt de normaalvector van vlak .
Een vergelijking van is daarom .
Door punt in te vullen vind je .
Dus .

Punt van lijn moet in vlak liggen, dus moet er gelden:
, hieruit volgt dat .
Deze waarde voor weer invullen bij lijn en ook nu vind je .

Opgave 14

Een vectorvoorstelling van vlak is .
Vergelijking maken van dit vlak: zoek m.b.v. het uitproduct een normaalvector . Je vindt . De vergelijking van het vlak is te schrijven als , je vindt door bijvoorbeeld punt in te vullen. Vlak .
Lijn door loodrecht op vlak : .

Snijd deze lijn met het vlak om het punt te vinden dat het dichtst bij punt ligt.
Punt van lijn is , dit invullen in vergelijking vlak geeft: , dus .
Snijpunt is dus .

, dus .

Opgave 15
a

loopt evenwijdig aan dat in vlak ligt, dus loopt evenwijdig met vlak .

b

Neem bijvoorbeeld punt van de lijn en bereken de afstand van dit punt tot vlak .

Een normaalvector van is .
Een vergelijking van vlak is dan: .
Dus de loodlijn door loodrecht op vlak is .
Snijd deze lijn met vlak , dit geeft: , ofwel .
Deze waarde van invullen bij geeft snijpunt .

en dus .

Opgave 16
a

en

b

c

Manier 1:
Punt van vlak is te schrijven als .
Dus en .
Substitueer en in . Je krijgt .
Herschrijven geeft: .

Manier 2:
Gebruik het uitproduct van beide richtingsvectoren.
Dit geeft .
De vergelijking van het vlak is nu: .
vind je door een punt van het vlak in te vullen, neem punt . Je vindt dat .
Dus: .

d

Een punt van lijn is te schrijven als .
Als je dit invult in geeft dat een tegenspraak.

Dit betekent dat lijn vlak niet snijdt en dus is lijn evenwijdig met vlak .

Andere manier:
Lijn heeft als richtingsvector .
Dit is een lineaire combinatie van de twee richtingsvectoren van vlak , want .
Dus lopen ze evenwijdig.

e

Maak een lijn door loodrecht op vlak .
Hiervoor heb je een normaalvector nodig van dat vlak. Bij c heb je die gevonden, namelijk
Lijn .
Deze moet je snijden met het vlak om het punt te vinden dat het dichtst bij punt ligt.
Een punt op is te schrijven als . Als je dit invult in vlak krijg je:

en , zodat .

En dus en .

Dus afstand van punt tot vlak is: .

f


Voor een snijpunt moet gelden: , en .

invullen in de derde vergelijking geeft . Deze waarden voor en invullen in de eerste vergelijking geeft een tegenspraak (). Dus snijden de lijnen elkaar niet.

Opgave 17
a

Vector staat loodrecht op beide richingsvectoren.

Dus een vergelijking van he vlak is .

Vul punt in. Dit geeft .

.

b

Neem als steunvector de vector naar een punt dat in het vlak ligt (en dus voldoet aan de vergelijking), bijvoorbeeld .
De twee richtingsvectoren die je nodig hebt moeten loodrecht staan op de normaalvector van vlak , dus op .

Neem bijvoorbeeld en (dit kunnen ook twee andere zijn).
Dus een mogelijke vectorvoorstelling van vlak is:

Opgave 18
a

Je kunt gebruiken als normaalvector van vlak .

, dus de vergelijking van vlak is te schrijven als .
vind je door punt in te vullen. Dat geeft .
Dus vlak of .

b

Kies twee richtingsvectoren die loodrecht staan op .
Neem bijvoorbeeld: en .

Dus

c

Snijd vlak met de twaalf lijnen waar de ribben van de kubus op liggen en kijk welke punten op de ribbe liggen.
Met , dan : , dit geeft , dit voldoet niet.
Met , dan en : , dit geeft .
Met en is ook punt .
Met , dan : , dit geeft , dit voldoet niet.
Met , dan : , dit geeft , dit voldoet niet.
Met , dan en : , dit geeft .
Met , dan en : , dit geeft .
Met en ook punt .
Met , dan en : , dit geeft .
Met , dan : , dit geeft , dit voldoet niet.

d

, , ,

e

, en

f
Opgave 19
a

.
Uitproduct van en is .
Dus het vlak is te schrijven als .
Door bijvoorbeeld punt in te vullen vind je .

Dus vlak: .

b

en hebben dezelfde richting, dus is het een lijn.
Lijn: .

c


Normaalvector , dus het vlak is te schrijven als .
Door bijvoorbeeld punt in te vullen vind je .

Dus vlak: .

d

Normaalvector , dus het vlak is te schrijven als .
Door bijvoorbeeld punt in te vullen vind je .

Dus vlak: .

e

Lijn:

Opgave 20
a

Vectorvoorstelling vlak .
Normaalvector . Dus vergelijking is te schrijven als: .
vind je door punt in te vullen. Dus .
Lijn .
Snijd deze lijn met vlak , dit geeft en dus .
Invullen in lijn geeft .

b

is een veelvoud van en dus zijn en evenwijdige lijnstukken. Dus is een trapezium.

c

en en .
.
Oppervlakte is .

d

Lijn door loodrecht op vlak opstellen: .
Deze lijn snijden met vlak geeft: , dit geeft .
Invullen in lijn geeft snijpunt .

.

Opgave 21
a

vind je door vanuit keer de richting van vector op te gaan.
.

Dus .

b

Vectorvoorstelling van vlak .
Normaalvector van vlak is .
Dus vergelijking van vlak is te schrijven als: .
Je vindt door punt in te vullen.
Dus .

snijden met vlak geeft:
. Dus .
Dit invullen in geeft snijpunt .

c

Maak lijn door loodrecht op vlak .
.
Deze lijn snijden met vlak geeft: . Dus .

Invullen in lijn geeft snijpunt .

Dus .

d

snijden met .
Je krijgt: , dus . Invullen in geeft .

Opgave 22Afstandsformule punt tot vlak
Afstandsformule punt tot vlak

Eerste formule:

Maak lijn door loodrecht op vlak :

.
Deze lijn moet je snijden met vlak .

Een punt op is , vul dit in de vergelijking van vlak in:

hieruit volgt dat .

Deze waarde invullen in geeft snijpunt .



Tweede formule:

Maak lijn door loodrecht op vlak :

.
Deze lijn moet je snijden met vlak .

Een punt op is , vul deze in de vergelijking van vlak in:

hieruit volgt dat
Deze waarde invullen in geeft snijpunt
.



Opgave 23Zwaartepunt driehoek
Zwaartepunt driehoek
a

Vectorvoorstelling maken van lijn door naar het midden van .
.

Vectorvoorstelling maken van lijn door naar het midden van .
.

Voor het zwaartepunt moet je lijn en lijn met elkaar snijden, dit betekent dat:

(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt , invullen in (2) geeft , ofwel .
Controleer door dit in te vullen in (1) geeft , dit klopt ook.

Vul in bij lijn geeft .

b

.

Opgave 24
a

b

c

d

e

verder | terug