Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > 3D krommen

Overzicht

12345673D krommen

Verwerken

Opgave 10

Gegeven zijn de krommen $k_{1} : (x, y, z) = (t + 1, 2 t, t + 3)$ en $k_{2} : (x, y, z) = (s, s, s^{2})$ .

Leg uit waarom $k_{1}$ een rechte lijn is.

Bereken de kortste afstand van $k_{1}$ tot de oorsprong $O$ van het assenstelsel.

Bereken de hoek waaronder beide krommen elkaar snijden.

Heeft $k_{2}$ een raaklijn evenwijdig aan het $y z$ -vlak? En aan het $x y$ -vlak?

Teken de kubus $O A B C . D E F G$ met $A (6, 0, 0)$ . Teken in die kubus de delen van $k_{1}$ en $k_{2}$ die erbinnen liggen.

$k_{2}$ heeft twee punten met de kubus gemeen. Bereken de coördinaten van die twee punten.

Hoe lang is het gedeelte van $k_{1}$ dat binnen de kubus ligt?

Opgave 11

De schroeflijn $s$ is gegeven door de parametervoorstelling $(x, y, z) = (2 t, 4 sin (t), 4 cos (t))$ met $t \geq 0$ .

Welk punt is het beginpunt van deze kromme?

Welke waarden kunnen $x$ , $y$ en $z$ aannemen?

Waaraan kun je zien dat deze kromme op een cilinder ligt? Welke as heeft die cilinder?

Hoe lang is elke omwenteling van de schroeflijn?

Welke hoek maakt de schroeflijn met het vlak $x = 4$ ?

Welke snelheid heeft een punt $P$ dat over deze schroeflijn beweegt op het moment dat $x = 4$ ?

Opgave 12

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y z$ de kromme $k$ door $(x, y, z) = (2 t, t^{2} - t, e^{t})$ .

Bereken de snijpunten van $k$ met de coördinaatvlakken.

Bereken de punten van $k$ waarin de raaklijn evenwijdig is met één der coördinaatvlakken.

Bereken de hoek waaronder $k$ de $z$ -as snijdt.

Opgave 13

Twee punten bewegen in een driedimensionaal $O x y z$ -assenstelsel. $P_{1}$ beweegt volgens een rechte lijn en met een constante snelheid. Op $t = 0$ bevindt het zich in $(0, 0, 6)$ en op $t = 1$ in $(2, 4, 6)$ .
De baan van $P_{2}$ wordt beschreven door $(x, y, z) = (2 t, 4 t, t^{2} - 0,25)$ .
ook hierin is $t$ de tijd en $t \geq 0$ .

Bereken het punt waarop beide punten tegen elkaar botsen.

Hoe groot is de snelheid van $P_{1}$ bij de botsing?

En hoe groot is de snelheid van $P_{2}$ op dat moment?

Onder welke hoek botsen de punten op elkaar?

Opgave 14De konische schroeflijn

De konische schroeflijn

Een voorbeeld van een konische schroeflijn is de kromme $k$ gegeven door $(x, y, z) = ((4 π - t) sin (t), (4 π - t) cos (t), 2 t))$ met $0 \leq t \leq 4 π$ . Een punt $P$ beweegt over deze kromme, waarbij $t$ de tijd in seconden voorstelt.

Bereken het snijpunt van $k$ met de $z$ -as.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ met het $y z$ -vlak en teken de projectie van $k$ op dat vlak (een vooraanzicht dus).

Teken ook (met GeoGebra?) de projectie van $k$ op het $x y$ -vlak.

$R$ is de afstand van $P$ tot de oorsprong van het assenstelsel. Stel een zo eenvoudig mogelijke formule voor $R$ op.

Stel een formule op voor de snelheid $v$ van $P$ als functie van $t$ . Met welke snelheid begint $P$ aan zijn beweging?

Op welke tijdstippen is $v$ maximaal of minimaal?

Onder welke hoek met de $z$ -as nadert $P$ het eindpunt van zijn baan?

Hoe lang is deze konische schroeflijn?

verder | terug