Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > 3D krommen

12345673D krommen

Voorbeeld 1

Als je de cirkel rustig omhoog beweegt tot het middelpunt `(0, 0, 3)` is, zie je één winding van een Archmedische schroeflijn ontstaan. De bijbehorende parametervoorstelling is:
`(x, y, z)=(3cos(t), 3sin(t), 3/(2 pi) t)` .
De spoed van de schroeflijn is de afstand tussen twee windingen gemeten in de richting van de as van de cilinder waar hij op ligt.
Hoe lang is elke omwenteling en hoe groot is de spoed van deze schroeflijn?

> antwoord

De schroeflijn ligt op een cilinder met straal `3` .
Tussen `t=0` en `t=2π` zit één omwenteling.
Bij `t=0` hoort het punt `(3, 0, 0)` .
Bij `t=2π` hoort het punt `(3, 0, 3)` .
Bekijk je één omwenteling dan is die te tekenen als diagonaal van een opengeklapte cilindermantel. Zo'n cilindermantel is een rechthoek van `2pi*3` bij `3` . De lengte van de diagonaal is `(6pi)^2 + 3^2 ~~ 19,1` .

Het verschil in "hoogte" tussen beginpunt en eindpunt van deze omwenteling is `3` (eenheden). Dit is de spoed van de schroeflijn.

Opgave 6

In de Theorie zie je hoe een kromme (of een rechte) in de ruimte kan worden beschreven met een parametervoorstelling.

Waarom kan dit in het algemeen niet met een vergelijking in $x$ , $y$ en $z$ ?

Leg uit hoe je aan de parametervoorstelling ziet dat de figuur die je in de applet kunt construeren een schroeflijn is.

In Voorbeeld 1 wordt de lengte van deze schroeflijn berekend. Loop deze berekening na.

In dit voorbeeld wordt ook verteld wat de spoed van een schroeflijn is.

Hoe ziet de parametervoorstelling er uit van een schroeflijn met dezelfde spoed die ligt op een cilinder om de $z$ -as met straal `2` ?

Hoe ziet de parametervoorstelling er uit van een schroeflijn met een twee keer zo grote spoed die ligt op een cilinder om de $z$ -as met straal `2` ?

Hoe ziet de parametervoorstelling er uit van een schroeflijn met spoed $2 π$ die ligt op een cilinder om de $x$ -as met straal 2?

verder | terug