Krommen en oppervlakken > 3D krommen
12345673D krommen

Voorbeeld 2

Als je de cirkel rustig omhoog beweegt tot het middelpunt is, zie je één winding van een Archimedische schroeflijn ontstaan. De bijbehorende parametervoorstelling is:
.
Laat zien dat deze schroeflijn met een constante snelheid wordt doorlopen.

> antwoord

De snelheidsvector is:
.
De snelheid zelf is .
Dit is een constant getal.

Het komt overeen met de in Voorbeeld 1 gevonden lengte van elke omwenteling. Als je weet dat de snelheid constant is kun je die namelijk ook berekenen door de lengte van elke omwenteling te delen door de omwentelingstijd .

Opgave 7

In Voorbeeld 2 gaat het over de snelheid waarmee een punt op een schroeflijn beweegt.

a

Waarom beweegt een punt over deze schroeflijn altijd met een constante snelheid?

b

Is ook de snelheidsvector constant? Waarom?

c

Bekijk de gegeven parametervoorstelling. Hoe moet je deze parametervoorstelling aanpassen om het punt twee keer zo snel te laten bewegen?

d

Met behulp van de snelheidsvector kun je een parametervoorstelling van de raaklijn in een punt van de schroeflijn bepalen. Stel een parametervoorstelling van de raaklijn aan de schroeflijn op in het punt A waarvoor geldt x = 0,5 π .

e

Welke hoek maakt deze raaklijn met de y -as?

f

Deze raaklijn snijdt het x y -vlak. In welk punt en onder welke hoek?

Opgave 8

Ten opzichte van een rechthoekig O x y z -assenstelsel beweegt een punt P over de kromme k met parametervoorstelling ( x , y , z ) = ( t , t + 2 , ( t ) ) . Hierin is t de tijd in seconden.

a

Op welk tijdstip zit P op de y -as? In welk punt?

b

Bereken op welk tijdstip P in het vlak z = 9 zit.

c

Teken een bovenaanzicht van kromme k . (Je kijkt dan langs de z -as naar beneden.)

d

Teken een vooraanzicht van kromme k . (Je kijkt dan langs de x -as naar achteren.)

e

Stel de snelheidsvector van k op.

f

Met welke snelheid beweegt P als dit punt door het vlak z = 9 gaat?

g

Onder welke hoek gaat P door het vlak z = 9 ?

h

Op welk tijdstip zit P het dichtst bij O ? Hoe groot is de afstand van P tot O dan?

verder | terug