Krommen en oppervlakken > 3D krommen
12345673D krommen

Uitleg

Met beschrijf je hoe de coördinaten van een punt in een -vlak veranderen met de tijd . Je krijgt dan een kromme in twee dimensies, en .

Is het -vlak als grondvlak op te vatten en kun je tegelijkertijd het punt omhoog en/of omlaag bewegen, dan heb je behalve en ook een functie nodig. Die laatste functie legt dan vast hoe hoog het punt boven het -vlak zit. Je krijgt nu een kromme in drie dimensies.

Hier zie je een voorbeeld van zo'n 3D-kromme: als je de cirkel rustig omhoog beweegt, draait de rode punt op de cirkel langzaam omhoog. Zo ontstaat (een stukje van) een Archimedische schroeflijn.
Er geldt: .

Wanneer je de 3D-kromme recht van boven (in de -richting) bekijkt zie je de 2D-kromme , een cirkel.
Bekijk je de 3D-kromme precies vanuit de -richting, zie je , een sinusoïde om de -as.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Bekijk minstens één winding van een (Archimedische) schroeflijn.

a

Maak om te beginnen een tabel met waarden voor x , y en z als t = 0 , 1 4 π , 1 2 π , π , ... , 2 π .

b

Teken vervolgens een ruimtelijk x y z -assenstelsel met de punten uit je tabel er in. Probeer nu zelf de schroeflijn te tekenen.

c

Bekijk van boven (dus langs de z -as naar beneden) op de schroeflijn. Wat zie je?

d

Kijk je van boven, dan speelt de z -waarde geen rol. Laat zien dat de kromme dan een cirkel is en stel een vergelijking van die cirkel op.

e

Kijk nu langs de y -as naar de kromme. Wat zie je?

f

Bij kijken langs de y -as speelt de y -waarde geen rol. Nu is x een functie van z . Welke functievoorschrift hoort daar bij?

g

Beschrijf zo ook met een formule de kromme die je zit als je langs de x -as kijkt.

Opgave 3

Bekijk de schroeflijn uit de voorgaande opgave nog eens.

a

Hoe kun je het snijpunt van deze kromme met het vlak z = 2 berekenen?

b

Bereken de snijpunten van de schroeflijn met het vlak x = y . Waarom zijn het er oneindig veel?

Opgave 4

Een rechte lijn l heeft vectorvoorstelling .

a

Welke parametervoorstelling heeft deze lijn?.

b

Teken l in een assenstelsel met een kubus met ribben van 6 (zie figuur hiernaast).

c

In welke punten snijdt l de kubus?

Stel je voor dat de beweging van punt P in het assenstelsel beschreven wordt door deze rechte lijn. t is de tijd in seconden.

d

Welke waarden kan t aannemen voor de punten P die binnen de kubus liggen?

e

Hoe lang is het gedeelte van l dat binnen de kubus ligt?

f

Hoe lang bevindt P zich binnen de kubus? Met welke snelheid beweegt P ?

Opgave 5

Een punt P beweegt met een constante snelheid en richting in een driedimensianaal rechthoekig O x y z -assenstelsel. Op t = 0 bevindt P zich in ( 7 , 0 , 4 ) en op t = 1 in ( 7 , 1 , 3 ) .

a

Waar zit P op t = 10 ? En op t = -2 ?

b

Geef een parametervoorstelling van de baan van P .

c

Hoe groot is de snelheid waarmee P beweegt?

d

Welke vector is de snelheidsvector van P ? Wat is het verschil tussen de snelheid en de snelheidsvector?

e

Laat zien dat de snelheidsvector v = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) ) is.

Een ander punt Q doorloopt de baan beschreven door ( x , y , z ) = ( 9 + t , 6 + 2 t , 6 + 2 t ) .

f

Botsen deze punten op elkaar?

g

Hebben de banen van deze punten een snijpunt?

verder | terug