Vectoren in 3D > Onderlinge ligging
1234567Onderlinge ligging

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Lijnen die niet evenwijdig zijn, maar toch geen snijpunt hebben.

b

Evenwijdig, snijden, kruisen.

c

Dat is gewoon de hoek die beide richtingsvectoren met elkaar maken. Je neemt alleen wel altijd een scherpe hoek.

d

Evenwijdig, snijden volgens een snijlijn.

e

Evenwijdig, snijden volgens een snijpunt.

Opgave 1
a

Voor een eventueel snijpunt moet gelden: , en .
Uit de eerste twee vergelijkingen volgt en , maar deze waarden voldoen niet aan de derde vergelijking. Geen snijpunt dus.

b

Hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.

c

Bereken het inproduct van beide richtingsvectoren.

geeft .

Opgave 2
a

en

Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoen zijn geen veelvoud van elkaar.

Voor snijpunt moet gelden: , en .

Dit geeft en .
Beide waarden moeten wel aan alle drie de vergelijkingen voldoen, dit klopt ook.

Ze snijden elkaar (bijvoorbeeld invullen in ).

b

en

Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoen zijn geen veelvoud van elkaar.

Voor snijpunt moet gelden: , en .

Hieraan voldoen en .

Dus snijden deze lijnen elkaar in .

c

d

en .

Inproduct richtingsvectoren: geeft .

Opgave 3
a

Een vergelijking van vlak is te schrijven als .
Vul de coördinaten van de punten , en in en je krijgt de volgende vergelijkingen:
, en . Kies nu , dan en .

Ofwel vlak .

Deze manier is handig omdat de punten , en veel "nullen" bevatten. Je kunt ook met twee richtingsvectoren en hun uitproduct werken.

b

Vind daarvoor twee richtingsvectoren die loodrecht staan op de normaalvector van het vlak. Neem bijvoorbeeld: en .

Dan lopen de lijnen en evenwijdig aan het vlak.

Opgave 4
a

De lijn door en ligt in het -vlak. Voor de lijn die in het vlak ligt en ook in het -vlak geldt dat . Met verhoudingen kun je dan zien dat moet zijn.

b

Punt ligt op deze snijlijn (zie a) en ook ligt op de snijlijn (want ligt op lijn , dus in vlak en ook in vlak ).
Dus snijlijn .

Opgave 5
a

b

Nu moet gelden en dit lukt als . Dus ligt op lijn .

c

Een punt kun je schrijven als .
Voor een eventueel snijpunt moet gelden .
Ofwel:
(1)
(2)
(3)

(1) en (3) zijn in tegenspraak, dus deze lijnen snijden elkaar niet.

d

.
Punt van is te schrijven als .
moet loodrecht staan op lijn , dus:


Dit invullen geeft .

Opgave 6
a

Punt ligt niet op lijn .

b

De afstand van tot lijn is de lengte van de vector met op lijn dat het dichtst bij punt ligt. Het punt is te schrijven als . Nu moet loodrecht staan op de richtingsvector van lijn .
Dus moet gelden:

geeft en .

Deze waarde van geeft .
.

Opgave 7
a

: en
:

Voor het snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (1), (2) en (3) volgt dat . Kies (dan is )

Vul dit in bij , je krijgt het snijpunt .

b

Bereken het inproduct van de richtingsvectoren:

geeft en .

Opgave 8
a

Voor het snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Dit stelsel moet voor een bepaalde waarde van een oplossing hebben.

Uit (2) volgt en uit (2) volgt . Deze aan elkaar gelijk stellen levert en . Deze waarden invullen in (1) geeft .

b

Bereken het inproduct van de twee richtingsvectoren:

geeft .

Opgave 9
a

Bijvoorbeeld en .
Vectorvoorstelling snijlijn: .

b

Vlak heeft vergelijking (ga zelf na dat een nromaalvector van vlak de vector is, verder gaat het vlak door punt .)
Lijn heeft vectorvoorstelling
Voor het snijpunt moet gelden: , dus .
Vul dit in lijn in. Je krijgt als snijpunt .

c

De richtingsvector van deze lijn moet loodrecht staan op de normaalvector van . Neem bijvoorbeeld .

De lijn is evenwijdig met vlak en gaat door punt .

Opgave 10
a


b

Als je de vectorvoorstellingen aan elkaar gelijkstelt, krijg je:
(1)
(2)
(3)
(1) kun je schrijven als en (2) en (3) .
Neem nu bijvoorbeeld de vectorvoorstelling van vlak en neem daarin .
Je krijgt dan als vectorvoorstelling van de snijlijn: .
Je herleid dit tot:

c

Stel hiervoor eerst de vergelijkingen op die bij de vlakken horen. Deze zijn:
en .
Twee punten die in beide vlakken liggen zijn bijvoorbeeld: en .
Dus vectorvoorstelling van de snijlijn is:
.

Opgave 11
a

is een punt op lijn . Vul de coördinaten in de vergelijking van vlak in:

geeft en .
Dus .

b

c

Vectorvoorstelling van .
Deze snijden met , door in te substitueren. Dit geeft:

en .
Deze waarde voor invullen in .

Herleiden geeft snijlijn: .

d

// betekent dat loodrecht staat op de normaalvector van vlak .
Punt is te schrijven als en .

Het inproduct van en moet zijn, dus:

en .
Deze waarde invullen geeft .

Opgave 12
a

en .

b

c

en . Dus is van .

Dit betekent dat .

d
Opgave 13
a

Teken de kubus in een 3D-assenstelsel met , de assen langs drie ribben.

b

Kies .
Een vergelijking van vlak ziet er uit als: .
Omdat in het vlak ligt is .
Vul de coördinaten van de punten en in, je vindt dan:
en . Kies , dan en .
Dus .

Maak lijn door loodrecht op : .
Snijd deze met het vlak (substitutie): geeft .
Dus snijpunt is .

c

Vlak snijden met vlak .
Substitueer in , dit geeft:

en .
Vul dit in bij vlak : .
Dit kun je herleiden tot: .

d


, en een punt op is dus te schrijven als .
Nu moet de loodrecht staan op , dus en hebben inproduct :

en .

Vul dit in lijn in. Je krijgt .

Opgave 14
a

.
Een richtingsvector van is en van .
Dus .

b

.
en aan elkaar gelijkstellen:
(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt , dit invullen in (1) geeft: , ofwel .
invullen in (2) geeft: , ofwel , dus .

Dit invullen in geeft snijpunt .

c


.

en aan elkaar gelijkstellen geeft:

(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt , invullen in (1) geeft , ofwel .

Nu invullen in geeft:

Dit herleiden geeft de snijlijn

Opgave 15
a




Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (1) volgt . Invullen in (3) geeft . Beide invullen in (2) levert een tegenspraak op (want ).

Dus snijden ze elkaar niet.

b

Bijvoorbeeld

c

Neem de punten en .
Dit geeft

d

Met vlak geeft snijpunt
Met vlak geeft snijpunt

Opgave 16
a

De normaalvector van is en deze staat loodrecht op de richtingsvector van lijn . Dus lijn is evenwijdig met vlak .

b

De richtingsvector van de lijn mag niet loodrecht staan op de normaalvector, dan snijden de lijn en het vlak elkaar. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de lijn:

c

De normaalvectoren van de vlakken moeten elkaars veelvoud zijn. Dit is bijvoorbeeld het geval bij:

(De vlakken vallen niet samen.)

Opgave 17
a

Er moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt , dit invullen (1) geeft , ofwel . Dan Beide waarden invullen in (2) en ook dat klopt.
Snijpunt .

b

en

c

De verzameling punten die je zoekt liggen in het bissectricevlak van de lijnen en . (Een bissectricevlak is vergelijkbaar met een bissectrice van een hoek in .)

Je hebt al een punt dat in het gevraagde vlak ligt, namelijk het snijpunt van en .
Ook het midden van lijnstuk ligt er op (ga na).
Het vlak dat je zoekt staat loodrecht op en gaat door het snijpunt van de lijnen en (dan gaat immers door de bissectrice van ).
Dus en door het snijpunt in te vullen vind je dat . Dus .
En inderdaad ligt punt er ook op.

Het andere bissectricevlak staat loodrecht op (dus is een normaalvector van vlak ) en gaat ook door .

. Dus , vul weer in en je krijgt , of .

Opgave 18Schaduw
Schaduw
a

De schaduw van de top vind je door de lijn door de punten en te snijden met de lijn door de punten en .


Voor snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt en dus .
invullen in geeft .

Maak een bovenaanzicht met daarin de schaduw.

De oppervlakte van de schaduw is cm2.

b

Dat is dezelfde afstand als van tot .
cm.

Opgave 19
a

Laat zien dat er geen snijpunt is en dat ze niet evenwijdig zijn.

b

Ongeveer .

c

.

d

en , dus de afstand is

Opgave 20

Het is vlak .

verder | terug