Meetkunde in 3D > Onderlinge ligging
1234567Onderlinge ligging

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Gegeven zijn de punten `A(3, 0, 2)` , `B(0, 2, 0)` en `P(2; 1; 1,5)` .

Lijn `l` gaat door de punten `A` en `B` .
Onderzoek of `P` op lijn `l` ligt en zo nee, bereken de afstand van `P` tot `l` , ofwel `text(d)(P, l)` .

> antwoord

Een vectorvoorstelling van lijn `l` is:

`((x), (y), (z))=((0), (2), (0))+t((3), (text(-)2), (2))`
Als `P` op `l` ligt, dan is er een waarde van `t` waarvoor geldt `(2; 1; 1,5) =(3t, 2 - 2t, 2t)` .
Ga zelf na dat zo'n waarde van `t` niet bestaat.

Punt `Q` is een punt op lijn `l` .

De afstand van `P` tot lijn `l` is de lengte van de vector `vec(PQ)` , waarbij met `Q` op lijn `l` ligt, zo dat `vec(PQ)` loodrecht staat op `l` .

Het punt `Q` is te schrijven als `(3t, 2 - 2t, 2t)` . Nu moet `vec(PQ)` loodrecht staan op de richtingsvector `vec(AB)` .
Dus moet het inproduct van die vectoren `0` zijn:

`vec(PQ)*vec(AB)=((3t - 2),(1 - 2t),(2t-{:1,5:})) * ((3),(text(-)2),(2)) = 0`
Dit geeft `t=11/17` en dus `vec(PQ)=((text(-)1/17), (text(-)5/17), (text(-)7/34))` .

Nu kun je de afstand van `P` tot `l` bereken:

`text(d)(P, l)=|vec(PQ)| ~~0,36`

Opgave 5

In Voorbeeld 1 zie je hoe je nagaat of een punt op een lijn ligt.

a

Reken na dat `t=11/17` en `text(d)(P, l)~~0,36`

b

Onderzoek of het punt `R(12, text(-)6, 8)` op lijn `l` ligt.

c

Onderzoek of lijn `OP` lijn `l` snijdt.

d

Bereken de afstand `d(R, AP)` .

Opgave 6

Gegeven is lijn `l: ((x), (y), (z))=((text(-)3), (2), (1))+t((5), (text(-)1), (4))`

a

Onderzoek of punt `S(9,5; text(-)0,5; 10)` op lijn `l` ligt.

b

Bereken de afstand van punt `P(1, 0, 0)` tot lijn `l` . Rond af op twee decimalen.

verder | terug