Meetkunde in 3D > Onderlinge liggingVoorbeeld 2
Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop
`T.ABCD` is een regelmatige vierzijdige piramide met `A(2, text(-)2, 0)` , `B(2, 2, 0)` en `T(0, 0, 2)` . Laat zien dat lijn `AB` en lijn `CT` elkaar kruisen en bereken de hoek die ze met elkaar maken.
Vectorvoorstellingen van de lijnen `AB` en `CT` zijn:
`AB`
:
`((x), (y), (z))=((2), (0), (0))+p((0), (1), (0))`
`CT`
:
`((x), (y), (z))=((text(-)2), (2), (0))+q((1), (1), (1))`
Beide lijnen zijn niet evenwijdig want hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van
elkaar. Ze snijden of kruisen elkaar dus. Voor een snijpunt moeten er waarden van
`p`
en
`q`
bestaan waarvoor
`(2, p, 0) = (text(-)2+q, 2+q, q)`
.
Ga na dat dergelijke waarden van
`p`
en
`q`
niet bestaan. De twee lijnen kruisen elkaar dus.
Hun onderlinge hoek wordt bepaald door de hoek tussen beide richtingsvectoren. Deze kun je bereken met behulp van het inproduct:
`1=1*sqrt(3)*cos(varphi)` , dus `varphi=/_(AB,CT)~~55^@`
Bekijk
Laat met een berekening zien dat de lijnen `BM` en `AN` elkaar snijden.
Bereken de hoek tussen de lijnen `BM` en `AN` in graden nauwkeurig.
Gegeven zijn de lijnen `l: ((x), (y), (z))=((text(-)1), (2), (3))+p((2), (text(-)3), (6))` en `m: ((x), (y), (z))=((0), (1), (2))+q((a), (2), (text(-)1))` .
Bereken de waarde van `a` waarvoor de lijnen `l` en `m` elkaar snijden.
Neem voor `a=4` . Bereken de hoek tussen de lijnen `l` en `m` .