Lijnen die niet evenwijdig zijn, maar toch geen snijpunt hebben.
Evenwijdig, snijden, kruisen.
Dat is gewoon de hoek die beide richtingsvectoren met elkaar maken. Je neemt alleen wel altijd een scherpe hoek.
Evenwijdig, snijden volgens een snijlijn.
Evenwijdig, snijden volgens een snijpunt.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
`3 - 3p = 0`
,
`0 = 3q`
en
`3,5p = 2 - 2q`
.
Uit de eerste twee vergelijkingen volgt
`p=1`
en
`q=0`
, maar deze waarden voldoen niet aan de derde vergelijking. Geen snijpunt dus.
Hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.
Bereken het inproduct van beide richtingsvectoren.
`text(-)7= sqrt(21,25)*sqrt(13)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AD,BC)~~75^@` .
`AB: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + p((2),(1),(2))` en `CD: ((x),(y),(z)) = ((0),(text(-)2),(1)) + q((0),(2),(1))`
Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.
Voor snijpunt moet gelden: `2+2p=0` , `3+p=text(-)2+2q` en `5+2p=1+q` .
Dit geeft
`p=text(-)1`
en
`q=2`
.
Beide waarden moeten wel aan alle drie de vergelijkingen voldoen, dit klopt ook.
Ze snijden elkaar `S(0, 2, 3)` (bijvoorbeeld `q=2` invullen in `CD` ).
`AC: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + r((2),(5),(4))` en `BD: ((x),(y),(z)) = ((text(-)2),(1),(1)) + s((2),(text(-)1),(1))`
Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.
Voor snijpunt moet gelden: `2+2r=text(-)2+2s` , `3+5r=1-s` en `5+4r=1+s` .
Hieraan voldoen `r=text(-)2/3` en `s=4/3` .
Dus snijden deze lijnen elkaar in `S(2/3, text(-)1/3, 7/3)` .
`((x),(y),(z)) = ((0),(text(-)2),(1)) + p((2),(1),(2))`
`AC: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + r((2),(5),(4))` en `BD: ((x),(y),(z)) = ((text(-)2),(1),(1)) + s((2),(text(-)1),(1))` .
Inproduct richtingsvectoren: `3=sqrt(45)*sqrt(6)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AC,BD)~~79^@` .
Een vergelijking van vlak
`ABC`
is te schrijven als
`ax+by+cz=d`
.
Vul de coördinaten van de punten
`A`
,
`B`
en
`C`
in en je krijgt de volgende vergelijkingen:
`3a=d`
,
`3b=d`
en
`2c=d`
. Kies nu
`d=6`
, dan
`a=b=2`
en
`c=3`
.
Ofwel vlak `ABC: 2x+2y+3z=6` .
Deze manier is handig omdat de punten `A` , `B` en `C` veel "nullen" bevatten. Je kunt ook met twee richtingsvectoren en hun uitproduct werken.
Vind daarvoor twee richtingsvectoren die loodrecht staan op de normaalvector `vec(n)=((2), (2), (3))` van het vlak. Neem bijvoorbeeld: `((1), (text(-)1), (0))` en `((3), (0), (text(-)2))` .
Dan lopen de lijnen `((x),(y),(z)) = ((5),(0),(0)) + s((1),(text(-)1),(0))` en `((x),(y),(z)) = ((5),(0),(0)) + t((3),(0),(text(-)2))` evenwijdig aan het vlak.
De lijn door `A` en `B` ligt in het `Oxy` -vlak. Voor de lijn die in het vlak `V` ligt en ook in het `Oxy` -vlak geldt dat `x=5` . Met verhoudingen kun je dan zien dat `T(5, text(-)2, 0)` moet zijn.
Punt
`T(5, text(-)2, 0)`
ligt op deze snijlijn (zie a) en ook
`S(9, 0, text(-)4)`
ligt op de snijlijn (want
`S`
ligt op lijn
`DE`
, dus in vlak
`V`
en ook in vlak
`ABC`
).
Dus snijlijn
`TS: ((x),(y),(z))=((5), (text(-)2), (0))+u((4), (2), (text(-)2))`
.
`((3t - 2),(1 - 2t),(2t-1,5)) * ((3),(text(-)2),(2)) = 0`
`9t-6-2+4t+4t-3=0`
`17t=11`
`t=11/17`
`text(d)(P, l)=|vec(PQ)|=sqrt((text(-)1/17)^2+(text(-)5/17)^2+(text(-)7/34)^2)=3/34sqrt(17)~~0,36`
Nu moet gelden `(12, text(-)6, 8) =(3t, 2 - 2t, 2t)` en dit lukt als `t = 4` . Dus ligt `Q` op lijn `AB` .
Een punt
`OP`
kun je schrijven als
`(2p; p; 1,5p)`
.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden
`(2p; p; 1,5p) = (3t, 2 - 2t, 2t)`
.
Ofwel:
(1)
`2p=3t`
(2)
`p=2-2t`
(3)
`1,5p=2t`
(1) en (3) zijn in tegenspraak, dus deze lijnen snijden elkaar niet.
`AP: ((x),(y),(z)) = ((3),(0),(2)) + q((2),(text(-)2),(1))`
.
Punt
`S`
van
`AP`
is te schrijven als
`S(3+2q, text(-)2q, 2+q)`
.
`vec(RS)`
moet loodrecht staan op lijn
`AP`
, dus:
`((2q-9), (text(-)2q+6), (q-6))*((2), (text(-)2), (1))=0`
`4q-18+4q-12+q-6=9q-36=0`
`q=4`
Dit invullen geeft
`vec(RS)=((text(-)1), (text(-)2), (text(-)2))`
.
`text(d)(R, AP)=|vec(RS)|=sqrt((text(-)1)^2+(text(-)2)^2+(text(-)2)^2)=sqrt(9)=3`
Punt `S` ligt niet op lijn `l` .
De afstand van
`P`
tot lijn
`l`
is de lengte van de vector
`vec(PQ)`
met
`Q`
op lijn
`l`
dat het dichtst bij punt
`P`
ligt. Het punt
`Q`
is te schrijven als
`(text(-)3+5t, 2 - t, 1+4t)`
. Nu moet
`vec(PQ)`
loodrecht staan op de richtingsvector van lijn
`l`
.
Dus moet gelden:
`((text(-)3+5t-1),(2 - t),(1+4t)) * ((5),(text(-)1),(4)) = 0`
`((5t - 4),(2 - t),(1+4t)) * ((5),(text(-)1),(4)) =0`
`25t-20-2+t+4+16t=0` geeft `42t-18=0` en `t=3/7` .
Deze waarde van
`t`
geeft
`vec(PQ)=((text(-)13/7), (11/7), (19/7))`
.
`text(d)(P, l)=|vec(PQ)|=sqrt((text(-)13/7)^2+(11/7)^2+(19/7)^2)=1/7sqrt(651)~~3,64`
.
`BM`
:
`((x), (y), (z))=((2), (2), (0))+r((3), (1), (text(-)1))`
en
`AN`
:
`((x), (y), (z))=((2), (text(-)2), (0))+s((text(-)3), (1), (1))`
Voor het snijpunt moet gelden:
(1)
`2+3r=2-3s`
(2)
`2+r=text(-)2+s`
(3)
`text(-)r=s`
Uit (1), (2) en (3) volgt dat `s=text(-)r` . Kies `r=1` (dan is `s=text(-)1` ).
Vul dit in bij `BM` , je krijgt het snijpunt `S(5, 3, text(-)1)` .
Bereken het inproduct van de richtingsvectoren:
`text(-)9 = sqrt(11)*sqrt(11)*cos(varphi)` geeft `varphi~~144,9^@` en `/_(BM,AN)=180^@-varphi~~ 35^@` .
Voor het snijpunt moet gelden:
(1)
`text(-)1+2p=q*a`
(2)
`2-3p=1+2q`
(3)
`3+6p=2-q`
Dit stelsel moet voor een bepaalde waarde van `a` een oplossing hebben.
Uit (2) volgt `q=1/2-3/2p` en uit (2) volgt `q=text(-)1-6p` . Deze aan elkaar gelijk stellen levert `p=text(-)1/3` en `q=1` . Deze waarden invullen in (1) geeft `a=text(-)5/3` .
Bereken het inproduct van de twee richtingsvectoren:
`text(-)4=sqrt(49)*sqrt(21)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(l,m)~~83^@` .
Bijvoorbeeld
`R(0, 4, 0)`
en
`S(8, 0, 4)`
.
Vectorvoorstelling snijlijn:
`((x), (y), (z))=((0), (4), (0))+s((8), (text(-)4), (4))`
.
Vlak
`ACT`
heeft vergelijking
`x + y = 4`
(ga zelf na dat een nromaalvector van vlak
`ACT`
de vector
`((1), (1), (0))`
is, verder gaat het vlak door punt
`(4, 0, 0)`
.)
Lijn
`BP`
heeft vectorvoorstelling
`((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + p((text(-)1),(text(-)2),(1))`
.
Voor het snijpunt moet gelden:
`4 - p + 4 - 2p = 4`
, dus
`p = 4/3`
.
Vul dit in lijn
`BP`
in. Je krijgt als snijpunt
`(8/3, 4/3, 4/3)`
.
De richtingsvector van deze lijn moet loodrecht staan op de normaalvector van `OCM` . Neem bijvoorbeeld `((2), (0), (1))` .
De lijn `((x),(y),(z)) = ((4), (4), (0))+q((2),(0),(1))` is evenwijdig met vlak `OCM` en gaat door punt `B` .
`BCT: ((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + p((1),(0),(0)) + q((0),(1),(text(-)1))`
`OCM: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + r((0),(1),(0)) + s((2),(0),(1))`
Als je de vectorvoorstellingen aan elkaar gelijkstelt, krijg je:
(1)
`4 + p = 2s`
(2)
`4 + q = r`
(3)
`text(-)q = s`
(1) kun je schrijven als
`p=2s-4`
en (2)
`r=4-s`
en (3)
`q=text(-)s`
.
Neem nu bijvoorbeeld de vectorvoorstelling van vlak
`OCM`
en neem daarin
`r = 4 - s`
.
Je krijgt dan als vectorvoorstelling van de snijlijn:
`((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + (4-s)((0),(1),(0)) + s((2),(0),(1))`
.
Je herleid dit tot:
`((x),(y),(z)) = ((0),(4),(0)) + s((2),(text(-)1),(1))`
Stel hiervoor eerst de vergelijkingen op die bij de vlakken horen. Deze zijn:
`BCT: y + z = 4`
en
`OCT: x - z = 0`
.
Twee punten die in beide vlakken liggen zijn bijvoorbeeld:
`P(2, 2, 2)`
en
`Q(3, 1, 3)`
.
Dus vectorvoorstelling van de snijlijn is:
`((x), (y), (z))=((2), (2), (2))+r((1), (text(-)1), (1))`
.
`P(4-2p, 1+3p, text(-)1+3p)` is een punt op lijn `l` . Vul de coördinaten in de vergelijking van vlak `V` in:
`4-2p-2(1+3p)+2((text(-)1+3p))=4`
geeft
`text(-)2p=4`
en
`p=text(-)2`
.
Dus
`P(8, text(-)5, text(-)7)`
.
`text(d)(A,V)=1/3`
Vectorvoorstelling van
`W: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+s((text(-)2),(3),(3)) +t((2), (text(-)2), (1))`
.
Deze snijden met
`V`
, door
`W`
in
`V`
te substitueren. Dit geeft:
`4-2s+2t-2(1+3s-2t)+2(text(-)1+3s+t)=4`
en
`s=4t-2`
.
Deze waarde voor
`s`
invullen in
`W: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+(4t-2)((text(-)2),(3),(3)) +t((2), (text(-)2),
(1))`
.
Herleiden geeft snijlijn: `((x),(y),(z))=((8),(text(-)5), (text(-)7))+t((text(-)6), (10), (13))` .
`vec(AP)`
//
`V`
betekent dat
`vec(AP)`
loodrecht staat op de normaalvector
`vec(n)=((1), (text(-)2), (2))`
van vlak
`V`
.
Punt
`P`
is te schrijven als
`P(3+2q, text(-)1-2q, 2+q)`
en
`vec(AP)=((2+2q), (text(-)3-2q), (text(-)1+q))`
.
Het inproduct van `vec(AP)` en `((1), (text(-)2), (2))` moet `0` zijn, dus:
`2+2q+6+4q-2+2q=0`
en
`q=text(-)3/4`
.
Deze waarde invullen geeft
`P(3/2, 1/2, 5/4)`
.
`CN: ((x),(y),(z))=((0),(0),(6))+p((1),(1),(text(-)2))` en `OZ: ((x),(y),(z))=q((1),(1),(1))` .
`S(3/2, 3/2, 3/2)`
`S(3/2, 3/2, 3/2)` en `Z(2, 2, 2)` . Dus `vec(OS)` is `3/4` van `vec(OZ)` .
Dit betekent dat `|OS|:|SZ|=3:1` .
Teken de kubus in een 3D-assenstelsel met `A(0, 0, 0)` , de assen langs drie ribben.
Kies
`A(0, 0, 0)`
.
Een vergelijking van vlak
`AMH`
ziet er uit als:
`ax+by+cz=d`
.
Omdat
`A`
in het vlak ligt is
`d=0`
.
Vul de coördinaten van de punten
`H(0, 6, 6)`
en
`M(6, 0, 3)`
in, je vindt dan:
`6b+6c=0`
en
`6a+3c=0`
. Kies
`b=2`
, dan
`c=text(-)2`
en
`a=1`
.
Dus
`AMH: x+2y-2z=0`
.
Maak lijn door
`E`
loodrecht op
`AMH`
:
`((x), (y), (z))=((0), (0), (6))+p((1), (2), (text(-)2))`
.
Snijd deze met het vlak (substitutie):
`p+4p-2(6-2p)=0`
geeft
`p=text(-)4/3`
.
Dus snijpunt is
`S(text(-)4/3, text(-)8/3, 26/3)`
.
`text(d)(E, AMH)=|ES|=sqrt((4/3)^2+(8/3)^2+(text(-)8/3)^2)=sqrt(16)=4`
Vlak
`V: ((x), (y), (z))=r((0), (0), (1))+s((1), (2), (text(-)2))`
snijden met vlak
`AMH`
.
Substitueer
`V`
in
`AMH`
, dit geeft:
`s+4s-2(r-2s)=0`
en
`r=4,5s`
.
Vul dit in bij vlak
`V`
:
`((x), (y), (z))=4,5s((0), (0), (1))+s((1), (2), (text(-)2))`
.
Dit kun je herleiden tot:
`((x), (y), (z))=s((1), (2), (5/2))=s((2), (4), (5))`
.
`N(6, 6, 3)`
`AG: ((x), (y), (z))=t((1), (1), (1))`
en een punt op
`AG`
is dus te schrijven als
`P(t, t, t)`
.
Nu moet de
`NP`
loodrecht staan op
`AG`
, dus
`vec(NP)=((t-6), (t-6), (t-3))`
en
`((1), (1), (1))`
hebben inproduct
`0`
:
`t-6+t-6+t-3=3t-15=0` en `t=5` .
Vul dit in lijn `AG` in. Je krijgt `S(5, 5, 5)` .
`text(d)(N, AG)=|NS|=sqrt(1^2+1^2+2^2)=sqrt(6)`
`P(4, text(-)2, 0)`
.
Een richtingsvector van
`BC`
is
`((1), (0), (0))`
en van
`BT`
is
`((1), (1), (text(-)3))`
.
Dus
`V: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+p((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))`
.
`AT: ((x), (y), (z))=((4), (text(-)4), (0))+r((text(-)4), (4), (12))`
.
`AT`
en
`V`
aan elkaar gelijkstellen:
(1)
`4-4r=4+p+q`
(2)
`text(-)4+4r=text(-)2+q`
(3)
`12r=text(-)3q`
Uit (3) volgt
`q=text(-)4r`
, dit invullen in (1) geeft:
`4-4r=4+p-4r`
, ofwel
`p=0`
.
`q=text(-)4r`
invullen in (2) geeft:
`text(-)4+4r=text(-)2-4r`
, ofwel
`8r=2`
, dus
`r=1/4`
.
Dit invullen in `AT` geeft snijpunt `(3, text(-)3, 3)` .
`V: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+p((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))`
`DCT: ((x), (y), (z))=((text(-)4), (text(-)4), (0))+s((1), (1), (3))+t((0), (1), (0))`
.
`V`
en
`DCT`
aan elkaar gelijkstellen geeft:
(1)
`4+p+q=text(-)4+s`
(2)
`text(-)2+q=text(-)4+t`
(3)
`text(-)3q=3s`
Uit (3) volgt `s=text(-)q` , invullen in (1) geeft `4+p+q=text(-)4-q` , ofwel `p=text(-)8-2q` .
Nu `p=text(-)8-2q` invullen in `V` geeft:
`((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+(text(-)8-2q)((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))`
Dit herleiden geeft de snijlijn `((x),(y),(z))=((text(-)4),(text(-)2),(0))+q((1),(text(-)1),(3))`
`N(3, 0, 1)`
`DB: ((x), (y), (z))=((0), (0), (2))+p((3), (2), (text(-)2))`
`CN: ((x), (y), (z))=((0), (2), (0))+q((3), (text(-)2), (1))`
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1)
`3p=3q`
(2)
`2p=2-2q`
(3)
`2-2p=q`
Uit (1) volgt `p=q` . Invullen in (3) geeft `p=q=2/3` . Beide invullen in (2) levert een tegenspraak op (want `4/3≠2/3` ).
Dus snijden ze elkaar niet.
Bijvoorbeeld `l: ((x),(y),(z))=((0),(0),(2))+s((3),(text(-)1),(0))`
Neem de punten
`D(0, 0, 2)`
en
`P(3, text(-)1, 2)`
.
Dit geeft
`l: ((x), (y), (z))=((0), (0), (2))+t((3), (text(-)1), (0))`
Met vlak
`ABFE`
geeft snijpunt
`(3, text(-)1, 2)`
.
Met vlak
`BCGF`
geeft snijpunt
`(text(-)6, 2, 2)`
.
De normaalvector van `V` is `((2), (text(-)5), (1))` en deze staat loodrecht op de richtingsvector van lijn `l` . Dus lijn `l ` is evenwijdig met vlak `V` .
De richtingsvector van de lijn mag niet loodrecht staan op de normaalvector, dan snijden de lijn en het vlak elkaar. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de lijn:
`((x),(y),(z))=((1),(0),(0))+p((5),(2),(5))`
De normaalvectoren van de vlakken moeten elkaars veelvoud zijn. Dit is bijvoorbeeld het geval bij:
`4x-10y+2z=30`
(De vlakken vallen niet samen.)
Er moet gelden:
(1)
`5+6p=1+2q`
(2)
`1+3p=4+6q`
(3)
`6+2p=7+3q`
Uit (3) volgt
`2p=1+3q`
, dit invullen (1) geeft
`5+3+9q=1+2q`
, ofwel
`q=text(-)1`
. Dan
`p=text(-)1`
Beide waarden invullen in (2) en ook dat klopt.
Snijpunt
`S(text(-)1, text(-)2, 4)`
.
`|AS|=sqrt(6^2+3^2+2^2)=sqrt(49)=7` en `|BS|=sqrt(2^2+6^2+3^2)=sqrt(49)=7`
De verzameling punten die je zoekt liggen in het bisectricevlak `V` van de lijnen `l` en `m` . (Een bissectricevlak is vergelijkbaar met een bissectrice van een hoek in `RR^2` .)
Je hebt al een punt dat in het gevraagde vlak ligt, namelijk het snijpunt
`S(text(-)1, text(-)2, 4)`
van
`l`
en
`m`
.
Ook het midden
`M(3, 5/2, 13/2)`
van lijnstuk
`AB`
ligt er op (ga na).
Het vlak dat je zoekt staat loodrecht op
`vec(AB)=((4), (text(-)3), (text(-)1))`
en gaat door het snijpunt
`S`
van de lijnen
`l`
en
`m`
(dan gaat
`V`
immers door de bissectrice van
`angle BSA`
).
Dus
`V: 4x-3y-z=d`
en door het snijpunt
`S(text(-)1, text(-)2, 4)`
in te vullen vind je dat
`d=text(-)2`
. Dus
`V: 4x-3y-z=text(-)2`
.
En inderdaad ligt punt
`M`
er ook op.
Het andere bissectricevlak
`W`
staat loodrecht op
`MS`
(dus
`vec(MS)`
is een normaalvector van vlak
`W`
) en gaat ook door
`S`
.
`vec(MS)=((4), (9/2), (5/2))`
. Dus
`W: 4x+9/2y+5/2z=d`
, vul
`S`
weer in en je krijgt
`W: 4x+9/2y+5/2z=text(-)3`
, of
`W: 8x+9y+5z=text(-)6`
.
De schaduw
`T'`
van de top vind je door de lijn door de punten
`L`
en
`T`
te snijden met de lijn door de punten
`O`
en
`B`
.
`LT: ((x), (y), (z))=((0), (0), (8))+p((2), (2), (text(-)3))`
`OB: ((x), (y), (z))=q((1), (1), (0))`
Voor snijpunt moet gelden:
(1)
`2p=q`
(2)
`2p=q`
(3)
`8-3p=0`
Uit (3) volgt
`p=8/3`
en dus
`q=16/3`
.
`q=16/3`
invullen in
`OB`
geeft
`T'(16/3, 16/3, 0)`
.
Maak een bovenaanzicht met daarin de schaduw.
De oppervlakte van de schaduw is `=(16/3)^2-4^2*1/2*4/3*16/3 = 5 1/3` cm2.
Dat is dezelfde afstand als van
`L`
tot
`T`
.
`|LT|=sqrt(2^2+2^2+(text(-)3)^2)=sqrt(17)~~4,1`
cm.
Laat zien dat er geen snijpunt is en dat ze niet evenwijdig zijn.
Ongeveer `66^@` .
`(0, 3, 5)` .
`OAT: y - 2z = 0` en `B(4, 4, 0)` , dus de afstand is `text(d)(B, OAT)=2/(sqrt(5))`
Het is vlak `V: ((x), (y), (z))=((6), (text(-)2), (3))+p((1), (1), (1))+q((1), (text(-)2), (0))` .