Meetkunde in 3D > Onderlinge ligging
1234567Onderlinge ligging

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Lijnen die niet evenwijdig zijn, maar toch geen snijpunt hebben.

b

Evenwijdig, snijden, kruisen.

c

Dat is gewoon de hoek die beide richtingsvectoren met elkaar maken. Je neemt alleen wel altijd een scherpe hoek.

d

Evenwijdig, snijden volgens een snijlijn.

e

Evenwijdig, snijden volgens een snijpunt.

Opgave 1
a

Voor een eventueel snijpunt moet gelden: `3 - 3p = 0` , `0 = 3q` en `3,5p = 2 - 2q` .
Uit de eerste twee vergelijkingen volgt `p=1` en `q=0` , maar deze waarden voldoen niet aan de derde vergelijking. Geen snijpunt dus.

b

Hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.

c

Bereken het inproduct van beide richtingsvectoren.

`text(-)7= sqrt(21,25)*sqrt(13)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AD,BC)~~75^@` .

Opgave 2
a

`AB: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + p((2),(1),(2))` en `CD: ((x),(y),(z)) = ((0),(text(-)2),(1)) + q((0),(2),(1))`

Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.

Voor snijpunt moet gelden: `2+2p=0` , `3+p=text(-)2+2q` en `5+2p=1+q` .

Dit geeft `p=text(-)1` en `q=2` .
Beide waarden moeten wel aan alle drie de vergelijkingen voldoen, dit klopt ook.

Ze snijden elkaar `S(0, 2, 3)` (bijvoorbeeld `q=2` invullen in `CD` ).

b

`AC: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + r((2),(5),(4))` en `BD: ((x),(y),(z)) = ((text(-)2),(1),(1)) + s((2),(text(-)1),(1))`

Ze lopen niet evenwijdig, want de richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar.

Voor snijpunt moet gelden: `2+2r=text(-)2+2s` , `3+5r=1-s` en `5+4r=1+s` .

Hieraan voldoen `r=text(-)2/3` en `s=4/3` .

Dus snijden deze lijnen elkaar in `S(2/3, text(-)1/3, 7/3)` .

c

`((x),(y),(z)) = ((0),(text(-)2),(1)) + p((2),(1),(2))`

d

`AC: ((x),(y),(z)) = ((2),(3),(5)) + r((2),(5),(4))` en `BD: ((x),(y),(z)) = ((text(-)2),(1),(1)) + s((2),(text(-)1),(1))` .

Inproduct richtingsvectoren: `3=sqrt(45)*sqrt(6)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AC,BD)~~79^@` .

Opgave 3
a

Een vergelijking van vlak `ABC` is te schrijven als `ax+by+cz=d` .
Vul de coördinaten van de punten `A` , `B` en `C` in en je krijgt de volgende vergelijkingen:
`3a=d` , `3b=d` en `2c=d` . Kies nu `d=6` , dan `a=b=2` en `c=3` .

Ofwel vlak `ABC: 2x+2y+3z=6` .

Deze manier is handig omdat de punten `A` , `B` en `C` veel "nullen" bevatten. Je kunt ook met twee richtingsvectoren en hun uitproduct werken.

b

Vind daarvoor twee richtingsvectoren die loodrecht staan op de normaalvector `vec(n)=((2), (2), (3))` van het vlak. Neem bijvoorbeeld: `((1), (text(-)1), (0))` en `((3), (0), (text(-)2))` .

Dan lopen de lijnen `((x),(y),(z)) = ((5),(0),(0)) + s((1),(text(-)1),(0))` en `((x),(y),(z)) = ((5),(0),(0)) + t((3),(0),(text(-)2))` evenwijdig aan het vlak.

Opgave 4
a

De lijn door `A` en `B` ligt in het `Oxy` -vlak. Voor de lijn die in het vlak `V` ligt en ook in het `Oxy` -vlak geldt dat `x=5` . Met verhoudingen kun je dan zien dat `T(5, text(-)2, 0)` moet zijn.

b

Punt `T(5, text(-)2, 0)` ligt op deze snijlijn (zie a) en ook `S(9, 0, text(-)4)` ligt op de snijlijn (want `S` ligt op lijn `DE` , dus in vlak `V` en ook in vlak `ABC` ).
Dus snijlijn `TS: ((x),(y),(z))=((5), (text(-)2), (0))+u((4), (2), (text(-)2))` .

Opgave 5
a

`((3t - 2),(1 - 2t),(2t-1,5)) * ((3),(text(-)2),(2)) = 0`

`9t-6-2+4t+4t-3=0`

`17t=11`

`t=11/17`

`text(d)(P, l)=|vec(PQ)|=sqrt((text(-)1/17)^2+(text(-)5/17)^2+(text(-)7/34)^2)=3/34sqrt(17)~~0,36`

b

Nu moet gelden `(12, text(-)6, 8) =(3t, 2 - 2t, 2t)` en dit lukt als `t = 4` . Dus ligt `Q` op lijn `AB` .

c

Een punt `OP` kun je schrijven als `(2p; p; 1,5p)` .
Voor een eventueel snijpunt moet gelden `(2p; p; 1,5p) = (3t, 2 - 2t, 2t)` .
Ofwel:
(1) `2p=3t`
(2) `p=2-2t`
(3) `1,5p=2t`

(1) en (3) zijn in tegenspraak, dus deze lijnen snijden elkaar niet.

d

`AP: ((x),(y),(z)) = ((3),(0),(2)) + q((2),(text(-)2),(1))` .
Punt `S` van `AP` is te schrijven als `S(3+2q, text(-)2q, 2+q)` .
`vec(RS)` moet loodrecht staan op lijn `AP` , dus:
`((2q-9), (text(-)2q+6), (q-6))*((2), (text(-)2), (1))=0`

`4q-18+4q-12+q-6=9q-36=0`
`q=4`

Dit invullen geeft `vec(RS)=((text(-)1), (text(-)2), (text(-)2))` .
`text(d)(R, AP)=|vec(RS)|=sqrt((text(-)1)^2+(text(-)2)^2+(text(-)2)^2)=sqrt(9)=3`

Opgave 6
a

Punt `S` ligt niet op lijn `l` .

b

De afstand van `P` tot lijn `l` is de lengte van de vector `vec(PQ)` met `Q` op lijn `l` dat het dichtst bij punt `P` ligt. Het punt `Q` is te schrijven als `(text(-)3+5t, 2 - t, 1+4t)` . Nu moet `vec(PQ)` loodrecht staan op de richtingsvector van lijn `l` .
Dus moet gelden:

`((text(-)3+5t-1),(2 - t),(1+4t)) * ((5),(text(-)1),(4)) = 0`

`((5t - 4),(2 - t),(1+4t)) * ((5),(text(-)1),(4)) =0`

`25t-20-2+t+4+16t=0` geeft `42t-18=0` en `t=3/7` .

Deze waarde van `t` geeft `vec(PQ)=((text(-)13/7), (11/7), (19/7))` .
`text(d)(P, l)=|vec(PQ)|=sqrt((text(-)13/7)^2+(11/7)^2+(19/7)^2)=1/7sqrt(651)~~3,64` .

Opgave 7
a

`BM` : `((x), (y), (z))=((2), (2), (0))+r((3), (1), (text(-)1))` en
`AN` : `((x), (y), (z))=((2), (text(-)2), (0))+s((text(-)3), (1), (1))`

Voor het snijpunt moet gelden:
(1) `2+3r=2-3s`
(2) `2+r=text(-)2+s`
(3) `text(-)r=s`

Uit (1), (2) en (3) volgt dat `s=text(-)r` . Kies `r=1` (dan is `s=text(-)1` ).

Vul dit in bij `BM` , je krijgt het snijpunt `S(5, 3, text(-)1)` .

b

Bereken het inproduct van de richtingsvectoren:

`text(-)9 = sqrt(11)*sqrt(11)*cos(varphi)` geeft `varphi~~144,9^@` en `/_(BM,AN)=180^@-varphi~~ 35^@` .

Opgave 8
a

Voor het snijpunt moet gelden:
(1) `text(-)1+2p=q*a`
(2) `2-3p=1+2q`
(3) `3+6p=2-q`

Dit stelsel moet voor een bepaalde waarde van `a` een oplossing hebben.

Uit (2) volgt `q=1/2-3/2p` en uit (2) volgt `q=text(-)1-6p` . Deze aan elkaar gelijk stellen levert `p=text(-)1/3` en `q=1` . Deze waarden invullen in (1) geeft `a=text(-)5/3` .

b

Bereken het inproduct van de twee richtingsvectoren:

`text(-)4=sqrt(49)*sqrt(21)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(l,m)~~83^@` .

Opgave 9
a

Bijvoorbeeld `R(0, 4, 0)` en `S(8, 0, 4)` .
Vectorvoorstelling snijlijn: `((x), (y), (z))=((0), (4), (0))+s((8), (text(-)4), (4))` .

b

Vlak `ACT` heeft vergelijking `x + y = 4` (ga zelf na dat een nromaalvector van vlak `ACT` de vector `((1), (1), (0))` is, verder gaat het vlak door punt `(4, 0, 0)` .)
Lijn `BP` heeft vectorvoorstelling `((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + p((text(-)1),(text(-)2),(1))` .
Voor het snijpunt moet gelden: `4 - p + 4 - 2p = 4` , dus `p = 4/3` .
Vul dit in lijn `BP` in. Je krijgt als snijpunt `(8/3, 4/3, 4/3)` .

c

De richtingsvector van deze lijn moet loodrecht staan op de normaalvector van `OCM` . Neem bijvoorbeeld `((2), (0), (1))` .

De lijn `((x),(y),(z)) = ((4), (4), (0))+q((2),(0),(1))` is evenwijdig met vlak `OCM` en gaat door punt `B` .

Opgave 10
a

`BCT: ((x),(y),(z)) = ((4),(4),(0)) + p((1),(0),(0)) + q((0),(1),(text(-)1))`
`OCM: ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + r((0),(1),(0)) + s((2),(0),(1))`

b

Als je de vectorvoorstellingen aan elkaar gelijkstelt, krijg je:
(1) `4 + p = 2s`
(2) `4 + q = r`
(3) `text(-)q = s`
(1) kun je schrijven als `p=2s-4` en (2) `r=4-s` en (3) `q=text(-)s` .
Neem nu bijvoorbeeld de vectorvoorstelling van vlak `OCM` en neem daarin `r = 4 - s` .
Je krijgt dan als vectorvoorstelling van de snijlijn: `((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + (4-s)((0),(1),(0)) + s((2),(0),(1))` .
Je herleid dit tot: `((x),(y),(z)) = ((0),(4),(0)) + s((2),(text(-)1),(1))`

c

Stel hiervoor eerst de vergelijkingen op die bij de vlakken horen. Deze zijn:
`BCT: y + z = 4` en `OCT: x - z = 0` .
Twee punten die in beide vlakken liggen zijn bijvoorbeeld: `P(2, 2, 2)` en `Q(3, 1, 3)` .
Dus vectorvoorstelling van de snijlijn is:
`((x), (y), (z))=((2), (2), (2))+r((1), (text(-)1), (1))` .

Opgave 11
a

`P(4-2p, 1+3p, text(-)1+3p)` is een punt op lijn `l` . Vul de coördinaten in de vergelijking van vlak `V` in:

`4-2p-2(1+3p)+2((text(-)1+3p))=4` geeft `text(-)2p=4` en `p=text(-)2` .
Dus `P(8, text(-)5, text(-)7)` .

b

`text(d)(A,V)=1/3`

c

Vectorvoorstelling van `W: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+s((text(-)2),(3),(3)) +t((2), (text(-)2), (1))` .
Deze snijden met `V` , door `W` in `V` te substitueren. Dit geeft:

`4-2s+2t-2(1+3s-2t)+2(text(-)1+3s+t)=4` en `s=4t-2` .
Deze waarde voor `s` invullen in `W: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+(4t-2)((text(-)2),(3),(3)) +t((2), (text(-)2), (1))` .

Herleiden geeft snijlijn: `((x),(y),(z))=((8),(text(-)5), (text(-)7))+t((text(-)6), (10), (13))` .

d

`vec(AP)` // `V` betekent dat `vec(AP)` loodrecht staat op de normaalvector `vec(n)=((1), (text(-)2), (2))` van vlak `V` .
Punt `P` is te schrijven als `P(3+2q, text(-)1-2q, 2+q)` en `vec(AP)=((2+2q), (text(-)3-2q), (text(-)1+q))` .

Het inproduct van `vec(AP)` en `((1), (text(-)2), (2))` moet `0` zijn, dus:

`2+2q+6+4q-2+2q=0` en `q=text(-)3/4` .
Deze waarde invullen geeft `P(3/2, 1/2, 5/4)` .

Opgave 12
a

`CN: ((x),(y),(z))=((0),(0),(6))+p((1),(1),(text(-)2))` en `OZ: ((x),(y),(z))=q((1),(1),(1))` .

b

`S(3/2, 3/2, 3/2)`

c

`S(3/2, 3/2, 3/2)` en `Z(2, 2, 2)` . Dus `vec(OS)` is `3/4` van `vec(OZ)` .

Dit betekent dat `|OS|:|SZ|=3:1` .

d
Opgave 13
a

Teken de kubus in een 3D-assenstelsel met `A(0, 0, 0)` , de assen langs drie ribben.

b

Kies `A(0, 0, 0)` .
Een vergelijking van vlak `AMH` ziet er uit als: `ax+by+cz=d` .
Omdat `A` in het vlak ligt is `d=0` .
Vul de coördinaten van de punten `H(0, 6, 6)` en `M(6, 0, 3)` in, je vindt dan:
`6b+6c=0` en `6a+3c=0` . Kies `b=2` , dan `c=text(-)2` en `a=1` .
Dus `AMH: x+2y-2z=0` .

Maak lijn door `E` loodrecht op `AMH` : `((x), (y), (z))=((0), (0), (6))+p((1), (2), (text(-)2))` .
Snijd deze met het vlak (substitutie): `p+4p-2(6-2p)=0` geeft `p=text(-)4/3` .
Dus snijpunt is `S(text(-)4/3, text(-)8/3, 26/3)` .
`text(d)(E, AMH)=|ES|=sqrt((4/3)^2+(8/3)^2+(text(-)8/3)^2)=sqrt(16)=4`

c

Vlak `V: ((x), (y), (z))=r((0), (0), (1))+s((1), (2), (text(-)2))` snijden met vlak `AMH` .
Substitueer `V` in `AMH` , dit geeft:

`s+4s-2(r-2s)=0` en `r=4,5s` .
Vul dit in bij vlak `V` : `((x), (y), (z))=4,5s((0), (0), (1))+s((1), (2), (text(-)2))` .
Dit kun je herleiden tot: `((x), (y), (z))=s((1), (2), (5/2))=s((2), (4), (5))` .

d

`N(6, 6, 3)`
`AG: ((x), (y), (z))=t((1), (1), (1))` en een punt op `AG` is dus te schrijven als `P(t, t, t)` .
Nu moet de `NP` loodrecht staan op `AG` , dus `vec(NP)=((t-6), (t-6), (t-3))` en `((1), (1), (1))` hebben inproduct `0` :

`t-6+t-6+t-3=3t-15=0` en `t=5` .

Vul dit in lijn `AG` in. Je krijgt `S(5, 5, 5)` .

`text(d)(N, AG)=|NS|=sqrt(1^2+1^2+2^2)=sqrt(6)`

Opgave 14
a

`P(4, text(-)2, 0)` .
Een richtingsvector van `BC` is `((1), (0), (0))` en van `BT` is `((1), (1), (text(-)3))` .
Dus `V: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+p((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))` .

b

`AT: ((x), (y), (z))=((4), (text(-)4), (0))+r((text(-)4), (4), (12))` .
`AT` en `V` aan elkaar gelijkstellen:
(1) `4-4r=4+p+q`
(2) `text(-)4+4r=text(-)2+q`
(3) `12r=text(-)3q`

Uit (3) volgt `q=text(-)4r` , dit invullen in (1) geeft: `4-4r=4+p-4r` , ofwel `p=0` .
`q=text(-)4r` invullen in (2) geeft: `text(-)4+4r=text(-)2-4r` , ofwel `8r=2` , dus `r=1/4` .

Dit invullen in `AT` geeft snijpunt `(3, text(-)3, 3)` .

c

`V: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+p((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))`
`DCT: ((x), (y), (z))=((text(-)4), (text(-)4), (0))+s((1), (1), (3))+t((0), (1), (0))` .

`V` en `DCT` aan elkaar gelijkstellen geeft:
(1) `4+p+q=text(-)4+s`
(2) `text(-)2+q=text(-)4+t`
(3) `text(-)3q=3s`

Uit (3) volgt `s=text(-)q` , invullen in (1) geeft `4+p+q=text(-)4-q` , ofwel `p=text(-)8-2q` .

Nu `p=text(-)8-2q` invullen in `V` geeft:

`((x),(y),(z))=((4),(text(-)2),(0))+(text(-)8-2q)((1),(0),(0))+q((1),(1),(text(-)3))`

Dit herleiden geeft de snijlijn `((x),(y),(z))=((text(-)4),(text(-)2),(0))+q((1),(text(-)1),(3))`

Opgave 15
a

`N(3, 0, 1)`
`DB: ((x), (y), (z))=((0), (0), (2))+p((3), (2), (text(-)2))`
`CN: ((x), (y), (z))=((0), (2), (0))+q((3), (text(-)2), (1))`
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1) `3p=3q`
(2) `2p=2-2q`
(3) `2-2p=q`

Uit (1) volgt `p=q` . Invullen in (3) geeft `p=q=2/3` . Beide invullen in (2) levert een tegenspraak op (want `4/3≠2/3` ).

Dus snijden ze elkaar niet.

b

Bijvoorbeeld `l: ((x),(y),(z))=((0),(0),(2))+s((3),(text(-)1),(0))`

c

Neem de punten `D(0, 0, 2)` en `P(3, text(-)1, 2)` .
Dit geeft `l: ((x), (y), (z))=((0), (0), (2))+t((3), (text(-)1), (0))`

d

Met vlak `ABFE` geeft snijpunt `(3, text(-)1, 2)` .
Met vlak `BCGF` geeft snijpunt `(text(-)6, 2, 2)` .

Opgave 16
a

De normaalvector van `V` is `((2), (text(-)5), (1))` en deze staat loodrecht op de richtingsvector van lijn `l` . Dus lijn `l ` is evenwijdig met vlak `V` .

b

De richtingsvector van de lijn mag niet loodrecht staan op de normaalvector, dan snijden de lijn en het vlak elkaar. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de lijn:

`((x),(y),(z))=((1),(0),(0))+p((5),(2),(5))`

c

De normaalvectoren van de vlakken moeten elkaars veelvoud zijn. Dit is bijvoorbeeld het geval bij:

`4x-10y+2z=30`

(De vlakken vallen niet samen.)

Opgave 17
a

Er moet gelden:
(1) `5+6p=1+2q`
(2) `1+3p=4+6q`
(3) `6+2p=7+3q`

Uit (3) volgt `2p=1+3q` , dit invullen (1) geeft `5+3+9q=1+2q` , ofwel `q=text(-)1` . Dan `p=text(-)1` Beide waarden invullen in (2) en ook dat klopt.
Snijpunt `S(text(-)1, text(-)2, 4)` .

b

`|AS|=sqrt(6^2+3^2+2^2)=sqrt(49)=7` en `|BS|=sqrt(2^2+6^2+3^2)=sqrt(49)=7`

c

De verzameling punten die je zoekt liggen in het bisectricevlak `V` van de lijnen `l` en `m` . (Een bissectricevlak is vergelijkbaar met een bissectrice van een hoek in `RR^2` .)

Je hebt al een punt dat in het gevraagde vlak ligt, namelijk het snijpunt `S(text(-)1, text(-)2, 4)` van `l` en `m` .
Ook het midden `M(3, 5/2, 13/2)` van lijnstuk `AB` ligt er op (ga na).
Het vlak dat je zoekt staat loodrecht op `vec(AB)=((4), (text(-)3), (text(-)1))` en gaat door het snijpunt `S` van de lijnen `l` en `m` (dan gaat `V` immers door de bissectrice van `angle BSA` ).
Dus `V: 4x-3y-z=d` en door het snijpunt `S(text(-)1, text(-)2, 4)` in te vullen vind je dat `d=text(-)2` . Dus `V: 4x-3y-z=text(-)2` .
En inderdaad ligt punt `M` er ook op.

Het andere bissectricevlak `W` staat loodrecht op `MS` (dus `vec(MS)` is een normaalvector van vlak `W` ) en gaat ook door `S` .

`vec(MS)=((4), (9/2), (5/2))` . Dus `W: 4x+9/2y+5/2z=d` , vul `S` weer in en je krijgt `W: 4x+9/2y+5/2z=text(-)3` , of `W: 8x+9y+5z=text(-)6` .

Opgave 18Schaduw
Schaduw
a

De schaduw `T'` van de top vind je door de lijn door de punten `L` en `T` te snijden met de lijn door de punten `O` en `B` .
`LT: ((x), (y), (z))=((0), (0), (8))+p((2), (2), (text(-)3))`
`OB: ((x), (y), (z))=q((1), (1), (0))`
Voor snijpunt moet gelden:
(1) `2p=q`
(2) `2p=q`
(3) `8-3p=0`

Uit (3) volgt `p=8/3` en dus `q=16/3` .
`q=16/3` invullen in `OB` geeft `T'(16/3, 16/3, 0)` .

Maak een bovenaanzicht met daarin de schaduw.

De oppervlakte van de schaduw is `=(16/3)^2-4^2*1/2*4/3*16/3 = 5 1/3` cm2.

b

Dat is dezelfde afstand als van `L` tot `T` .
`|LT|=sqrt(2^2+2^2+(text(-)3)^2)=sqrt(17)~~4,1` cm.

Opgave 19
a

Laat zien dat er geen snijpunt is en dat ze niet evenwijdig zijn.

b

Ongeveer `66^@` .

c

`(0, 3, 5)` .

d

`OAT: y - 2z = 0` en `B(4, 4, 0)` , dus de afstand is `text(d)(B, OAT)=2/(sqrt(5))`

Opgave 20

Het is vlak `V: ((x), (y), (z))=((6), (text(-)2), (3))+p((1), (1), (1))+q((1), (text(-)2), (0))` .

verder | terug