Meetkunde in 3D

Opgave 11

Gegeven zijn de lijnen `l` en `m` en vlak `V` :
`l: ((x),(y),(z))=((4),(1),(text(-)1))+p((text(-)2),(3),(3))` , `m: ((x),(y),(z))=((3),(text(-)1),(2))+q((2),(text(-)2),(1))`

`V: x - 2y + 2z = 4`

a

Bereken de coördinaten van het snijpunt `P` van lijn `l` en vlak `V` .

b

Bereken exact de afstand van `A(1, 2, 3)` tot `V` .

c

Vlak `W` is evenwijdig met lijn `m` en lijn `l` ligt in `W` .

Bereken de snijlijn van `V` en `W` .

d

Op `m` ligt een punt `P` zo, dat `vec(AP) // // V` . Bereken de coördinaten van `P` .

Opgave 12

Gegeven is het viervlak `C.OAB` met `A(6, 0, 0), B(0, 6, 0)` en `C(0, 0, 6)` .
Punt `N` is het midden van `AB` en `M` dat van `OA` .
Punt `Z` is het zwaartepunt van `ΔABC` .

a

Geef vectorvoorstellingen van de lijnen `CN` en `OZ` .

b

Vlak `BCM` snijdt `OZ` in punt `S` . Bereken de coördinaten van `S` .

c

Toon aan dat het punt `S` de lijn `OZ` zo verdeelt dat `|OS|:|SZ|=3 :1` .

d

Bereken exact de afstand van punt `A` tot vlak `BCM` .

Opgave 13

Een kubus `ABCD.EFGH` heeft ribben van `6` cm. Punt `M` is het midden van ribbe `BF` . Voor de volgende berekeningen kun je de kubus in een cartesisch assenstelsel `Oxyz` plaatsen.

a

Teken de kubus en punt `M` . Kies `A` in de oorsprong.

b

Bereken de afstand van punt `E` tot vlak `AMH` .

c

Vlak `V` gaat door `AE` en staat loodrecht op vlak `AMH` . Stel een vectorvoorstelling op van de snijlijn van vlak `V` met vlak `AMH` .

d

Bereken exact de afstand van het midden `N` van ribbe `CG` tot lijn `AG` .

Opgave 14

Van een regelmatige vierzijdige piramide `T.ABCD` is het snijpunt van `AC` en `BD` de oorsprong van een cartesisch `Oxyz` -assenstelsel. Verder is `A(4, text(-)4, 0), B(4, 4, 0)` en `T(0, 0, 12)` . `P` ligt op `AB` zo, dat `|AP|:|PB|=1:3` .
Vlak `V` is het vlak door `P` en evenwijdig aan vlak `BCT` .

a

Stel een vectorvoorstelling van `V` op.

b

Bepaal de coördinaten van het snijpunt van lijn `AT` en vlak `V` .

c

Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van `V` en vlak `DCT` .

Opgave 15

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Bekijk de balk `OABC.DEFG` met `A(3, 0, 0)` , `C(0, 2, 0)` en `D(0, 0, 2)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` dat van `AE` .

a

Onderzoek of de lijnen `DB` en `CN` een snijpunt hebben.

b

De vlakken `DNMC` en `GEF` snijden elkaar volgens een lijn `l` . Maak een vectorvoorstelling van die lijn door de twee vectorvoorstellingen van de vlakken aan elkaar gelijk te stellen.

c

Je kunt ook een vectorvoorstelling van `l` maken door twee punten op te zoeken die aan beide vergelijkingen van de vlakken voldoen. Bepaal ook op die manier een vectorvoorstelling van `l` .

d

Bereken de snijpunten van `l` met de vlakken `ABFE` en `BCGF` .

Opgave 16

Gegeven is lijn `l: ((x),(y),(z))=((4),(text(-)3),(4))+p((5),(2),(0))` en vlak `V: 2x-5y+z=10` .

a

Toon aan dat lijn `l` evenwijdig is met vlak `V` .

b

Geef een vectorvoorstelling van een lijn die vlak `V` snijdt.

c

Geef een vergelijking van een vlak dat evenwijdig is met vlak `V` .

Opgave 17

Gegeven zijn de lijnen `l: ((x), (y), (z))=((5), (1), (6))+p((6), (3), (2))` en `m: ((x), (y), (z))=((1), (4), (7))+q((2), (6), (3))` .

a

Laat zien dat de lijnen `l` en `m` elkaar snijden.

b

Laat zien dat het punt `A(5, 1, 6)` op lijn `l` en het punt `B(1, 4, 7)` op lijn `m` even ver van het snijpunt liggen.

c

Geef de twee vergelijkingen van de vlakken waarvoor geldt dat alle punten in die vlakken even ver van lijn `l` als van lijn `m` liggen.

Verwerken