Meetkunde in 3D > Onderlinge liggingVoorbeeld 1
Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop
Gegeven zijn de punten `A(3, 0, 2), B(0, 2, 0)` en `P(2; 1; 1,5)` .
Lijn
`l`
gaat door de punten
`A`
en
`B`
.
Onderzoek of
`P`
op lijn
`l`
ligt en zo nee, bereken de afstand van
`P`
tot
`l`
, ofwel
`text(d)(P, l)`
.
Een vectorvoorstelling van lijn `l` is:
`((x), (y), (z))=((0), (2), (0))+t((3), (text(-)2), (2))`
Als
`P`
op
`l`
ligt, dan is er een waarde van
`t`
waarvoor geldt
`(2; 1; 1,5) =(3t, 2 - 2t, 2t)`
.
Ga zelf na dat zo'n waarde van
`t`
niet bestaat.
Punt `Q` is een punt op lijn `l` .
De afstand van `P` tot lijn `l` is de lengte van de vector `vec(PQ)` , waarbij met `Q` op lijn `l` ligt, zo `vec(PQ)` loodrecht staat op `l` .
Het punt
`Q`
is te schrijven als
`(3t, 2 - 2t, 2t)`
. Nu moet
`vec(PQ)`
loodrecht staan op de richtingsvector
`vec(AB)`
.
Dus moet het inproduct van die vectoren
`0`
zijn:
`vec(PQ)*vec(AB)=((3t - 2),(1 - 2t),(2t-{:1,5:})) * ((3),(text(-)2),(2)) = 0`
Dit geeft
`t=11/17`
en dus
`vec(PQ)=((text(-)1/17), (text(-)5/17), (text(-)7/34))`
.
Nu kun je de afstand van `P` tot `l` bereken:
`text(d)(P, l)=|vec(PQ)| ~~0,36`
In
Reken na dat `t=11/17` en `text(d)(P, l)~~0,36`
Onderzoek of het punt `R(12, text(-)6, 8)` op lijn `l` ligt.
Onderzoek of lijn `OP` lijn `l` snijdt.
Bereken de afstand `d(R, AP)` .
Gegeven is lijn `l: ((x), (y), (z))=((text(-)3), (2), (1))+t((5), (text(-)1), (4))`
Onderzoek of punt `S(9,5; text(-)0,5; 10)` op lijn `l` ligt.
Bereken de afstand van punt `P(1, 0, 0)` tot lijn `l` . Rond af op twee decimalen.