Controleer de afstand van elk punt tot `O` , die moet `3` zijn. Dit geldt alleen voor `A` , `B` , `C` en `E` .

`sqrt(a^2 + a^2 + a^2) = 3` geeft `a = +-sqrt3` .

Als `-sqrt3 lt a lt sqrt3` .

`x^2 + y^2 + z^2 = 9`

Met `z=0` : `x^2 + y^2 = 9` is een cirkel in dit vlak met straal `3` .
Met `z=1` : `x^2 + y^2 = 8` is een cirkel in dit vlak met straal `2sqrt2` .
Met `z=2` : `x^2 + y^2 = 5` is een cirkel in dit vlak met straal `sqrt5` .
Met `z=3` : `x^2 + y^2 = 0` is een cirkel in dit vlak met straal `0` , dus gewoon het punt `O` .

`y = text(-)z` geeft `x^2 + 2z^2 = 9` . Dit lijkt een ellips, maar pas op met 3D: het is een cirkel in het vlak `y=text(-)z` .

Doen.

Alweer een cirkel met straal `3` , maar nu iets hoger.

Steeds een cirkel met straal `3` , maar op verschillende hoogtes.

Voor elk punt op de cilinder geldt `x^2 + y^2 = 9` .

`y^2 + z^2 = 16`

`M(1,4,0)` en `r = 5` .

`(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 6`

`(x - 1)^2 + (z - 3)^2 = 10`

Omdat de normaalvector van een raakvlak in `P` de vector `MP` is ( `M` is daarin het bolmiddelpunt).

Doe zelf dit voorbeeld even uitgebreid.

Kwadraat afsplitsen geeft `(x - 4)^2 + y^2 = 29` . Dit is een cilinder met een as evenwijdig aan de `z` -as en door `(4,0,0)` en straal `sqrt(29)` .

Eerst checken of `Q(2,5,3)` op de cilinder ligt, dat is het geval!
Normaalvector raakvlak (bovenaanzicht bekijken/tekenen) is `((2),(text(-)5),(0))` , dus vergelijking vlak `2x - 5y = text(-)21` .

Dat raakvlak gaat door `R(4,text(-)5,3)` , dus vergelijking `2x - 5y = 33` .

Bijvoorbeeld als `(x,y) = (at, 2 + t)` raakt aan `x^2 + y^2 = 8x + 13` , dus als `a^2t^2 + (t+2)^2 = 8at + 13` één oplossing voor `t` heeft. Dit betekent `D = (4 - 8a)^2 + 36(a^2 + 1) = 0` en dus `100a^2 - 64a + 52 = 0` .

`(3 cos(u))^2 + (3 sin(u))^2 = 9 (cos^2(u) + sin^2(u)) = 9` en dat klopt.

Een schroeflijn over het cilinderoppervlak, want bij toenemende `u` draait niet alleen het punt, maar het gaat tegelijk ook omhoog.

Zowel `u` als `v` lopen bijvoorbeeld van `0` tot `2pi` .

`|OP| = r` en `|OQ| = r cos(v)` en hieruit volgt `x = +-|OR| = r cos(u) cos(v)` en `y = r sin(u) cos(v)` . De `z` -waarde is `z = +-|PQ| = r sin(u)` .

Invullen en gebruik maken van `sin^2(x) + cos^2(x) = 1` .

Vergelijking: `x^2 + z^2 = 34` .
P.v.: `(x, y, z) = (sqrt(34)cos(u), v, sqrt(34)sin(u))` .

Bereken eerst de afstand van `O` tot `V: x + y + z = 6` : `text(d)(O,V) = 2sqrt(3)` (loodlijn opstellen, snijden met het vlak, afstand `O` tot snijpunt opstellen). De vergelijking van de bol is dus `x^2 + y^2 + z^2 = 18` .
P.v.: `(x, y, z) = (2sqrt(3)cos(u)cos(v), 2sqrt(3)sin(u)cos(v), 2sqrt(3)sin(v))` .

Vergelijking: `(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16` .
P.v.: `(x, y, z) = (4cos(u), 4sin(u), v)` .

Het middelpunt is `(1,1,1)` en de straal is `sqrt(3)` , dus de vergelijking is `(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 3` .
P.v.: `(x, y, z) = (1 + sqrt(3)cos(u)cos(v), 1 + sqrt(3)sin(u)cos(v), 1 + sqrt(3)sin(v))` .

Doen. In het `xy` -vlak krijg je `(x^2)/4 + (y^2)/16 = 1` (een ellips). In het `yz` -vlak krijg je `(y^2)/16 + (z^2)/4 = 1` (een ellips). In het `xz` -vlak krijg je `x^2 + y^2 = 4` (een cirkel met straal `2` ).

Zie a.

Laat zien dat als `(a,b,c)` op de ellipsoïde dan ook `(a,-b,c)` op de ellipsoïde.

`x = sqrt(4-t^2) cos(u)` , `y = 2t` en `z = sqrt(4-t^2) sin(u)` .

`9x^2 + 9y^2 + z^2 = 36` en de parametervoorstelling is `x = sqrt(4-4t^2)cos(u) ^^ y = sqrt(4-4t^2)sin(u) ^^ z=6t` .

Bol, even kwadraat afsplitsen: `(x-0,5)^2 + (y+0,5)^2 + (z-1)^2 = 0,25` , dus `M(0,5;text(-)0,5;1)` en `r=0,5` .

Cilinder met straal `2` en as door `(0,3,4)` en evenwijdig aan de `x-as` .

Cilinder, even kwadraat afsplitsen: `(x-6)^2 + y^2 = 36` . Dus straal `6` en een as evenwijdig aan de `z` -as door `(6,0,0)` .

Bol met straal `5` en `M(5,5,0)` .

Doen, de bol heeft middelpunt `O(0,0,0)` en straal `2` .

Middelpunt is `G(0,4,4)` en de straal is `sqrt(32)-2` . Dus de vergelijking is `x^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = (sqrt(32)-2)^2` .

Middelpunt is `M(2,2,2)` en de straal is `2sqrt(3)` . Dus de vergelijking is `(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 12` .

`(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9`

`sqrt(32)-2-3 = 4sqrt(2) - 5` (bovenaanzicht maken).

Dit vraagt om een meetkundige oplossing. Hier zie je een bovenaanzicht, het gaat om de lengte van `PQ` . Je ziet dat `|BP|=3` en `|OQ|=2` . Verder is `|OB|=4sqrt2` . Omdat de twee driehoeken `BPS` en `OQS` gelijkvormig zijn, kun je berekenen dat `|BS|=2,4sqrt2` en `|OS| = 1,6sqrt2` . Hiermee kun je `|PS|` en `|QS|` berekenen. Dus `|PQ| = sqrt(2,52) + sqrt(1,12)` .

`M(3,3,3)` en `r = sqrt27` geeft vergelijking `(x-3)^2 + (y-3)^2 + (z-3)^2 = 27` .

De bol moet raken aan het vlak `ABC` . `M(p,p,p)` en `|OM| = 1/2 * d(O,ABC) = sqrt(3)` , dus `3p^2=3` en `p=1` . Middelpunt `M(1,1,1)` en straal `sqrt3` geeft `(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 3` .

Middelpunt `M(4,3,2)` en straal `r=3` geeft `(x-4)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 9` .

Neem in de vergelijking `z=4` en je vindt `(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5` . Dit is een cirkel met straal `sqrt5` . Hierbij is `2 + 3 sin(v) = 4` en dus `v = arcsin(2/3) ~~ 0,730` .

`v=0` geeft `(x,y,z) = (4 + 3 cos(u), 3 + 3 sin(u), 2)` . Je hebt hier te maken met een cirkel in het vlak `z=2` en vergelijking `(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9` . Dit is ook de vergelijking van de cilinder met as evenwijdig aan de `z` -as die precies om de bol past.

Het raakpunt is `P(4 + 1,5 sqrt2; 3 + 1,5 sqrt2; 2)` . De normaalvector van het raakvlak is `vec(PM) = ((1,5 sqrt2),(1,5 sqrt2),(0))` . Dus het vlak heeft vergelijking `1,5x sqrt2 + 1,5y sqrt2 = 10,5 sqrt2 + 9` (coördinaten van `P` invullen).

`x = 2 + 4t ^^ y = 1 + 4t ^^ z = 3` invullen in de bolvergelijking geeft `t = 0 vv t = 1` . Dus `A(2,1,3)` en `B(6,5,3)` . Het raakvlak in `A` heeft normaalvector `((2),(2),(text(-)1))` en het raakvlak in `B` heeft normaalvector `((2),(2),(1))` . De hoek tussen beide vlakken is gelijk aan de hoek tussen beide normaalvectoren. En die bereken je met behulp van het inproduct. Je vindt `arccos(7/9) ~~ 39` °.

Teken een aanzicht van de cilinder in de richting van de as. Daarin zie je een cirkel met lijnstuk `AB'` , waarin `B'` de loodrechte projectie van `B` op vlak `V` is. Daarin is `|AB'| = sqrt(4^2 - 2^2) = 2 sqrt3` .
Is `M` het midden van de cirkel in het aanzicht en `N` het midden van `AB'` , dan is de straal `|MA| = sqrt((sqrt3)^2 + 1^2) = 2` .

Ook dit moet je via het aanzicht meetkundig oplossen. De bedoelde raakvlakken zie je dan als raaklijnen aan de cirkel die loodrecht staan op de stralen `MA` en `MB'` . De gevraagde hoek is `180° - /_AMB'` en met goniometrie kun je `/_AMB' = 120` ° berekenen. De hoek tussen beide raakvlakken is `60` °.

Vergelijking herleiden tot `(x - 2)^2 + (z + 2)^2 = 8` geeft een cilinder met as evenwijdig aan de `y` -as door `M(2,0,text(-)2)` en straal `sqrt(8)` .

Bol met middelpunt `M(0,0,4)` en straal `2` .

Vergelijking herleiden tot `x^2 + (y-5)^2 + (z+3)^2 = text(-)5` dus dit is niks, een bol met straal `sqrt(text(-)5)` kan niet. (Imaginaire bol???)

Cilinder met as evenwijdig aan de `z` -as door `(5,5,0)` en een straal van `5` .

Teken een aanzicht in de richting van de `x` -as, je ziet dan driehoek `ACT` waarin het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt `M` van de bol is. Dit snijpunt kun je bereken met goniometrie, of met vergelijkingen van de middelloodlijnen.
Je vindt `M(0,3,0)` en een straal van `|MT| = 5` . De vergelijking van de bol is `x^2 + (y-3)^2 + z^2 = 25` .

In snijpunt `A` is de normaalvector van het raakvlak `((0),(text(-)3),(4))` en de richtingsvector van lijn `AT` is `((0),(8),(text(-)4))` . De hoek hiertussen is `arccos(2/(sqrt(5))) ~~ 27` °. De gevraagde hoek is daarom ongeveer `90° - 27° = 63°` .

`x^2 + y^2 = (2 sqrt2)^2 = 8`

Hier kan een analytische oplossing (vectorvoorstelling `BT` invullen in vergelijking cilinder en zo `P` berekenen).
Hier kan ook een meetkundige oplossing (in een bovenaanzicht werken met verhoudingen). Je vindt `P(2 sqrt2, 8 - 4 sqrt2, 0)` . En dus is `|OP| = sqrt((2 sqrt2)^2 + (8 - 4 sqrt2)^2 + 0^2) = sqrt(104 - 64 sqrt2)` .