Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders

1234567Bollen en cilinders

Voorbeeld 1

Stel een vergelijking op van het raakvlak `V` aan de bol `B` met vergelijking `x^2+y^2+z^2=4x+6z+16` in het punt `P(4, 3, 7)` .

> antwoord

Bepaal eerst door kwadraat afsplitsen het middelpunt van de bol `B` .
De vergelijking wordt: `(x-2)^2+y^2+(z-3)^2=29` .
Het middelpunt van de bol wordt `M(2, 0, 3)` .

Vervolgens ga je na, dat `P(4, 3, 7)` op het boloppervlak ligt.
De straal $\overset{⟶}{M P} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ staat loodrecht op het raakvlak `V` en is dus normaalvector van dit vlak.
Verder ligt het punt `(4, 3, 7)` in `V` .

De vergelijking van `V` is: `2x+3y+4z=45` .

Opgave 4

In de Theorie zie je hoe je de bol en de cilinder kunt beschrijven met behulp van een vergelijking.

Bepaal nu het middelpunt en de straal van de bol met vergelijking ${(x -1)}^{2} + {(y -4)}^{2} + z^{2} = 25$ .

Stel een vergelijking op van de bol met middelpunt $M (-2, 1, 2)$ die door het punt $A (-1, -1, -3)$ gaat.

Stel een vergelijking op van de cilinder door $O (0, 0, 0)$ waarvan de as evenwijdig is aan de $y$ -as en door $P (1, 0, 3)$ gaat.

Opgave 5

Je kunt aan bollen en cilinders ook raaklijnen en raakvlakken maken. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de vergelijking van een raakvlak aan een bol opstelt in een punt op de bol.

Waarom wordt in het voorbeeld eerst de vergelijking van de bol zo geschreven dat je het middelpunt kunt bepalen? Doe dit zelf ook.

Ga na, hoe nu de vergelijking van het raakvlak wordt opgesteld.

Neem vervolgens het oppervlak $C$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 8 x + 13$ .

Toon aan dat dit oppervlak een cilinder is en bereken de straal van die cilinder. Beschrijf ook de as van de cilinder.

Stel de vergelijking op van het raakvlak $W$ aan $C$ in het punt $Q (2, 5, 3)$ .

Welke vergelijking heeft het raakvlak aan $C$ dat evenwijdig is met $W$ ?

Voor welke waarden van $a$ raakt de lijn $l : (x, y, z) = (a t, 2 + t, 4 - t)$ de cilinder $C$ ?

verder | terug