Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders

1234567Bollen en cilinders

Voorbeeld 3

Een oppervlak wordt ten opzichte van een rechthoekig `Oxyz` -assenstelsel beschreven door
`4x^2+y^2+4z^2=16` .
Leg uit waarom dit oppervlak wel een ellipsoïde wordt genoemd.

> antwoord

Om deze vraag te kunnen beantwoorden heb je een voorstelling van het oppervlak nodig. Aanzichten helpen daarbij.

Recht van boven gezien (vanuit de `z` -richting) zie je de tweedimensionale kromme:
`4x^2+y^2=16` .
Dit kun je schrijven als $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .
En deze kromme is een ellips door de punten `(2, 0, 0)` , `(0, 4, 0)` , `(text(-)2, 0, 0)` en `(0, text(-)4, 0)` .
Ga dat na...

En zo kun je het oppervlak ook vanuit de `x` -richting en de `y` -richting bekijken.
Je ontdekt dat het oppervlak kan ontstaan door de ellips in het `xy` -vlak te wentelen om de `y` -as. En daarmee verklaar je de naam "ellipsoïde" als omwentelingsellips.

Opgave 8

Het oppervlak waarvan je in Voorbeeld 3 een vergelijking ziet heet een ellipsoïde.

Teken in een rechthoekig $O x y z$ -assenstelsel de drie doorsnedes van dit oppervlak met de coördinaatvlakken.

Leg uit waarom het oppervlak kan worden gezien als een ellips die om de $y$ -as wordt gewenteld.

Bewijs de symmetrie van deze ellipsoïde t.o.v. de $y$ -as.

Ook van zo'n ellipsoïde kun je een parametervoorstelling maken.

Kies twee geschikte parameters en geef een bijpassende parametervoorstelling.

Stel een vergelijking op van de ellipsoïde met centrum $O$ die door $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ en $C (0, 0, 6)$ gaat en waarvan de $x$ -as, de $y$ -as en de $z$ -as symmtrieassen zijn. Maak er ook een parametervoorstelling bij.

verder | terug