`0`

Kies een punt `P` op lijn `l` . De afstand bereken je door de afstand te bereken van een punt `P` tot lijn `m` .

De normaalvector `vec(n_(ABC))` moet loodrecht staan op `vec(AB)=((text(-)3), (3), (0))` en op `vec(AC)=((text(-)3), (0), (2))` .

Neem bijvoorbeeld `vec(n_(ABC))=((2),(2),(3))` en `vec(ED)=(({:text(-)1,5:}), ({:text(-)1,5:}), (5))` .

Gebruik het inproduct van de vectoren `vec(n_(ABC))` en `vec(ED)` :

`9=sqrt(17)*sqrt(29,5)*cos(varphi)` geeft `varphi~~66^@` .

Dit is de hoek tussen de normaalvector van vlak `ABC` en `ED` .
De gevraagde hoek is dus `/_(ED, ABC)~~90^@-66^@=24^@` .

Alleen `S` .

Maak een vlak `W` door `PQ` evenwijdig aan `RS` .
De normaalvector van `W` moet loodrecht staan op `vec(PQ)=((text(-)1), (1), (0))` en op `vec(RS)=((5), (2), (text(-)5))` . Bijvoorbeeld (uitproduct) `vec(n_W)=((5), (5), (7))` .
Dus `W` is te schrijven als `5x+5y+7z=d` . Je vindt `d=25` door bijvoorbeeld punt `P(5, 0, 0)` in te vullen. Dus `W: 5x+5y+7z=25` .

De gevraagde afstand is de afstand van bijvoorbeeld punt `R` tot vlak `W` .
Lijn `m` door `R` loodrecht op `W` snijd je met `W` .
`m: ((x), (y), (z))=((0), (0), (5))+q((5), (5), (7))` invullen in `W` geeft:

`25q+25q+7(5+7q)=25` en `q=text(-)10/99` .

Vul dit in lijn `m` in. Je krijgt `S(text(-)50/99, text(-)50/99, 425/99)` .

`text(d)(PQ, RS)=text(d)(R, W)=sqrt((text(-)50/99)^2+(text(-)50/99)^2+(text(-)70/99)^2)=10/3sqrt(11)~~1,01` .

Gebruik het inproduct van de vectoren `vec(PQ)` en `vec(RS)` :

`text(-)3=sqrt(2)*sqrt(54)*cos(varphi)` geeft `varphi~~107^@` en `/_(PQ,RS)~~73^@` .

`PQ: ((x), (y), (z))=((5), (0), (0))+r((text(-)1), (1), (0))` snijden met `V` (substitueren):

`2(5-r)+3r=12` geeft `r=2` .

Vul dit in lijn `PQ` in. Je krijgt als snijpunt `(3, 2, 0)` .

De richtingsvector van `PQ` is `((text(-)1), (1), (0))` en de normaalvector van `V` is `vec(n_V)=((2), (3), (4))` .
Gebruik het inproduct van deze twee vectoren:

`text(-)2+3=1=sqrt(2)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi~~82^@` .

Dit is de hoek tussen `vec(n_V)` en `vec(PQ)` ; `/_(PQ,V)~~90^@-82^@=8^@` .

Een vergelijking van vlak `PQR` is `x+y+z=5` . De normaalvector is dus `vec(n_(PQR))=((1), (1), (1))` . De normaalvector van vlak `V` is `vec(n_V)=((2), (3), (4))` .

De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de normaalvectoren van de twee vlakken.
Bereken het inproduct van deze twee vectoren.

`9=sqrt(3)*sqrt(29)*cos(/_(V, PQR))` geeft `/_(V, PQR)~~15^@` .

Maak vlak `V` door `CT` evenwijdig aan `AB` .
Teken lijn door `(2, 0, 0)` loodrecht op `V` , deze gaat door punt `T` van het vlak `V` .
De gevraagde afstand is de afstand van `(2, 0, 0)` tot `T` .

Die is hetzelfde als de afstand van lijn `AB` tot vlak `CDT` , dus ook `2sqrt(2)` (dat zie je door de figuur `90^@` te draaien).

Deze lijn snijdt het vlak, dus deze afstand varieert van punt tot punt. Hun kortste onderlinge afstand is 0.

Omdat de richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn, lopen ze niet evenwijdig.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1) `2-2p=3+4q`
(2) `1=text(-)1+2q`
(3) `text(-)1+3p=q`

Uit (2) volgt `q=1` , dit invullen bij (1) geeft `p=text(-)5/2` . Vul nu beide waarden in bij (3), dan krijg je een tegenspraak (want `text(-)17/2≠1` ).

Dus ze snijden elkaar ook niet, dus kruisen ze elkaar.

Maak vlak `V` door lijn `l` evenwijdig aan lijn `m` .
`V: ((x),(y),(z))=((2),(1),(text(-)1))+p((text(-)2),(0),(3))+q((4),(2),(1))` .

Een normaalvector van dit vlak is `vec(n)=((3), (text(-)7), (2))` .
Een vergelijking van vlak `V` is dan: `3x-7y+2z=text(-)3`

Maak nu een lijn door een punt van lijn `m` loodrecht op `V` .
Bijvoorbeeld `p:((x), (y), (z))=((3), (text(-)1), (0))+r((3), (text(-)7), (2))` .
Deze lijn snijden met vlak `V` geeft:
`3(3+3r)-7(text(-)1-7r)+2(0+2r)=text(-)3` en `r=text(-)19/62` .

Vul dit in lijn `p` in. Je krijgt `S(129/62, 71/62, text(-)38/62)` .

Nu is de gevraagde afstand de afstand van `P(3, text(-)1, 0)` naar `S` .
Dus is `text(d)(l, m)=|PS|=sqrt((text(-)57/62)^2+(133/62)^2+(text(-)38/62)^2)=19/62sqrt(62)~~2,41` .

Het is de hoek tussen `CT` en de lijn door `T` en evenwijdig aan `AB` . (Draai de figuur zo, dat je langs de `y` -as kijkt.)

`ABT: x+z=2` en `BCT: y+z=2` .
De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de twee normaalvectoren van de twee vlakken.
`vec(n_(ABT))=((1), (0), (1))` en `vec(n_(BCT))=((0), (1), (1))` .

Inproduct: `1=sqrt(2)*sqrt(2)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(ABT,BCT)=60^@` .

Deze hoek is de hoek tussen `AM` en `MC` , waarbij `M` het punt van `BT` is waarbij zowel `AM` als `MC` loodrecht op `BT` staan.

Dat is de hoek tussen `vec(AC)=((1), (text(-)1), (0))` en `vec(CT)=((1), (text(-)1), (1))` .

Met het inproduct: `2=sqrt(2)*sqrt(3)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AC,CT)~~35^@` .

`/_OPT=45^@` waarbij `P` het snijpunt van `AB` en de `x` -as is.

`/_(V,W)=/_(vec(n_V),vec(n_W))` . Je hebt dus de normaalvector van de twee vlakken nodig.

Uitproduct richtingsvectoren: `vec(n_V)=((3), (text(-)1), (5))` .

Uitproduct richtingsvectoren: `vec(n_W)=((text(-)2), (1), (2))` .

Inproduct van beide normaalvectoren: `3=sqrt(35)*sqrt(9)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(V,W)~~80^@` .

Inproduct richtingsvector `l` en normaalvector `V` geeft:
`20=sqrt(14)*sqrt(35)*cos(varphi)` en `varphi~~25^@` .

`/_(l, V)~~90^@-25^@=65^@` .

Deze twee lijnen liggen in vlakken die evenwijdig zijn ( `AM` ligt in zijvlak `ABEF` en `GH` ligt in zijvlak `CDGH` ). Dus de gevraagde afstand is de afstand tussen deze twee vlakken, dus `6` .

Kies `A(0, 0, 0)` .
Een vector die loodrecht staat op `BE=((text(-)1), (0), (1))` en op `AG=((1), (1), (1))` is `vec(n)=((1), (text(-)2), (1))` .
Dus een vlak `V` door `BE` evenwijdig aan `AG` is te schrijven als `x-2y+z=d` .
`d=6` vind je door bijvoorbeeld punt `B` in te vullen. Dus `V: x-2y+z=6` .

Lijn door `A` loodrecht op `V` :

`l:((x), (y), (z))=p((1), (text(-)2), (1))`
Deze lijn snijden met `V` : `p+4p+p=6` en `p=1` .
Vul dit in lijn `l` in. Je krijgt `S(1, text(-)2, 1)` .

`text(d)(BE, AG)=sqrt(1^2+(text(-)2)^2+1^2)=sqrt(6)` cm.

Het inproduct van de richtingsvector `((text(-)2), (3), (3))` van `l` en de normaalvector `vec(n_V)=((1), (text(-)2), (2))` is: `text(-)2-6+6=text(-)2=sqrt(9)*sqrt(22)*cos(varphi)` .
Dus `cos(varphi)=(text(-)2)/(3sqrt(22))` en `varphi~~98^@` .

Je moet de scherpe hoek hebben, dus `/_(l,V)~~90^@-82^@=8^@` .

Een vergelijking van `W` is `9x+8y-2z=46` .

Maak lijn `n` door punt van `m` loodrecht op vlak `W` :

`n:((x), (y), (z))=((3), (text(-)1), (2))+r((9), (8), (text(-)2))`

Snijd deze met vlak `W` : `9(3+9r)+8(text(-)1+8r)-2(2-2r)=46` geeft `r=31/149` .

Vul dit in lijn `n` in. Je krijgt `S(726/149, 99/149, 236/149)` .
`text(d)(l, m)=sqrt((726/149-3)^2+(99/149-text(-)1)^2+(236/149-2)^2)=31/149sqrt(149)~~2,54`

Bedenk dat `P(4, text(-)2, 0)` .
Eerst een vergelijking van vlak `V` vinden.
De normaalvector van vlak `V` is hetzelfde als de normaalvector van vlak `BCT` (omdat ze evenwijdig lopen).
`vec(n_(BCT))=((0), (3), (1))= vec(n_V)` .
Nu een normaalvector van vlak `ADT` vinden. Deze moet loodrecht staan op `vec(AD)=((text(-)8), (0), (0))` en op `AT=((text(-)4), (4), (12))` .

Neem `vec(n_(ADT))=((0), (3), (text(-)1))` .

De hoek tussen de vlakken `ADT` en `V` bereken je met behulp van het inproduct van beide normaalvectoren:

`8=sqrt(10)*sqrt(10)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(ADT,V)~~37^@` .

Deze twee vlakken lopen evenwijdig dus is dit de afstand tussen een punt van vlak `V` (bijvoorbeeld `P` ) tot vlak `BCT` .
Maak een loodlijn `m` door `P` loodrecht op vlak `BCT` :

`m: ((x), (y), (z))=((4), (text(-)2), (0))+p((0), (3), (1))` .

Deze lijn snijden met vlak `BCT: 3y+z=12` geeft: `3(text(-)2+3p)+p=12` en `p=9/5` .

Vul dit in lijn `m` in. Je krijgt `S(4, 17/5, 9/5)` .
`text(d)(V, BCT)=sqrt((27/5)^2+(9/5)^2)=9/5sqrt(10)~~5,69` .

`vec(ED)=((text(-)1), (1), ({:2,5:}))` en `vec(AB)=((0), (1), (0))` .

Inproduct: `1=sqrt(8,25)*sqrt(1)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(ED,AB)~~70^@` .

`vec(n_(OBT))=((text(-)1), (1), (0))` en `vec(BD)=((text(-)3), (text(-)1), ({:2,5:}))` .

Inproduct: `2=sqrt(2)*sqrt(16,25)*cos(varphi)` geeft `varphi~~69^@` .
Dus `/_(BD,OBT)~~90^@-69^@=21^@` .

`BD: ((x), (y), (z))=((4), (4), (0))+p((text(-)3), (text(-)1), ({:2,5:}))` .
Vergelijking van vlak `OAT: ax+by+cz=d` , door de punten `O` , `A` en `T` in te vullen weet je dat `d=0` , `4a=0` , dus `a=0` en `2b+5c=0` . Kies `b=5` , dan `c=text(-)2` .
Dus vlak `OAT: 5y-2z=0` .

Lijn `BD` snijden met vlak `OAT` : `5(4-p)-5p=0` geeft `p=2` .
Dus snijpunt is `S(text(-)2, 2, 5)` .

Bereken het inproduct van `vec(BD)=((text(-)3), (text(-)1), ({:2,5:}))` met `vec(n_(OAT))=((0), (5), (text(-)2))` :

`text(-)10=sqrt(16,25)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi~~63^@` , dus `/_(BD,OAT)~~90^@-63^@=27^@`

`OD: ((x), (y), (z))=r((1), (3), ({:2,5:}))` en `TE: ((x), (y), (z))=((2), (2), (0))+s((0), (0), (1))` .
Laat `V` het vlak door `OD` evenwijdig met `TE` , dan `V: ((x), (y), (z))=u((1), (3), ({:2,5:}))+v((0), (0), (1))` . Een normaalvector van `V` is `vec(n)=((3), (text(-)1), (0))` . Dus een vergelijking van `V` is `3x-y=0` .
Maak nu een loodlijn `l` door `E(2, 2, 0)` loodrecht op vlak `V` .

`l: ((x), (y), (z))=((2),(2),(0))+w((3),(text(-)1), (0))`

Snijden met `V` geeft: `3(2+3w)-(2-w)=0` en `w=text(-)0,4` .
Dit invullen in `l` geeft snijpunt `S(0,8; 2,4; 0)` .
`text(d)(OD, TE)=|ES|=sqrt((text(-)1,2)^2+0,4^2+0^2)=2/5sqrt(10)~~1,26` .

Bedenk `P(4, 4, 4)` .
Omdat vlak `AGC: ax+by+cz=d` door de punten `A` , `C` en `G` gaat moet gelden:
`4a=d` , `8b=d` en `8b+4c=d` . Kies `a=2` , dan is `d=8` , `b=1` en `c=0` .
Dus `AGC: 2x+y=8` .
Maak lijn `l` door `P` loodrecht op `AGC` : `m: ((x), (y), (z))=((4), (4), (4))+p((2), (1), (0))` .
Deze lijn `l` snijden met vlak `AGC` : `2(4+2p)+4+p=8` geeft `p=text(-)4/5` .
Snijpunt `S(12/5, 16/5, 4)` .
`text(d)(P,AGC)=|PS|=sqrt((4-12/5)^2+(4-16/5)^2+(4-4)^2)=sqrt(16/5)=4/5sqrt(5)` .

`GB: ((x), (y), (z))=((0), (8), (4))+q((1), (0), (text(-)1))`
Een punt `Q` op `GB` is te schrijven als `(q, 8, 4-q)` .
`vec(PQ)=((q-4), (4), (text(-)q))` moet loodrecht staan op de richtingsvector van `GB` , dus loodrecht op `((1), (0), (text(-)1))` .
Hun inproduct is dus `q-4+q=0` , ofwel `q=2` .

Dus `Q(2, 8, 2)` en `text(d)(P, GB)=|PQ|=sqrt((text(-)2)^2+4^2+(text(-)2)^2)=sqrt(24)=2sqrt(6)` .

`M(4, m, 4)`
Lijn door `M` loodrecht op `AGC` : `((x), (y), (z))=((4), (m), (4))+r((2), (1), (0))` .
Deze lijn snijden met `AGC` geeft: `2(4+2r)+m+r=8` en `r=text(-)m/5` .
Snijpunt `T(4-2/5m, 4/5m, 4)` .
`text(d)(M, AGC)=|MT|=sqrt((text(-)2/5m)^2+(text(-)m/5)^2+0^2)=2` .
Ofwel `4/25m^2+1/25m^2=4` , dus `m=sqrt(20)=2sqrt(5)` .

Dus `M(4, 2sqrt(5), 4)` .

Nee, de kortste afstand is van `F` tot `BG` . Deze afstand is `sqrt(8)` en dit is groter dan `2` .

Ongeveer `66^@` .

Ongeveer `22^@` .

Ongeveer `29^@` .

`text(d)(OD, TE) = 2/5sqrt(10)`