`T.ABCD` is een regelmatige vierzijdige piramide met `A(2, text(-)2, 0)` , `B(2, 2, 0)` en `T(0, 0, 2)` . Laat zien dat lijn `AB` en lijn `CT` elkaar kruisen en bereken hun kortste onderlinge afstand.
`AB`
:
`((x), (y), (z))=((2), (0), (0))+p((0), (1), (0))`
en
`CT`
:
`((x), (y), (z))=((text(-)2), (2), (0))+q((1), (text(-)1), (1))`
Beide lijnen zijn niet evenwijdig want hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van
elkaar. Ze snijden of kruisen elkaar dus. Voor een snijpunt moeten er waarden van
`p`
en
`q`
bestaan waarvoor
`(2, p, 0) = (text(-)2+q, 2-q, q)`
.
Ga na dat dergelijke waarden van
`p`
en
`q`
niet bestaan. De twee lijnen kruisen elkaar dus.
Hun kortste onderlinge afstand is de afstand van een punt van
`AB`
(bijvoorbeeld
`(2, 0, 0)`
) tot een vlak waar
`CT`
in ligt en dat evenwijdig is met
`AB`
. Hier is dat vlak
`CDT`
. Een vergelijking van dit vlak is
`x - z = text(-)2`
(ga zelf na). Stel nu lijn
`m`
door
`(2, 0, 0)`
en loodrecht op vlak
`CDT`
op en snijd deze met ditzelfde vlak
`CDT`
.
Dus
`m: ((x), (y), (z))=((2), (0), (0))+r((1), (0), (text(-)1))`
snijden met
`x-z=text(-)2`
geeft
`2+r+r=text(-)2`
. Hieruit volgt dat
`r=text(-)2`
. Door deze waarde in te vullen in
`m`
krijg je het punt
`(0, 0, 2)`
, dit punt ligt het dichtst bij punt
`(2, 0, 0)`
. De afstand tussen deze twee punten is dan
`sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)`
. Dit is de afstand van lijn
`AB`
tot lijn
`CD`
.
In
Maak de beschreven werkwijze duidelijk in een eigen tekening.
Hoe groot is de afstand van lijn `AD` tot vlak `BCT` ?
`M` is het midden van `AB` . Waarom heeft het vragen naar de afstand tussen lijn `DM` en vlak `BCT` geen betekenis?
Gegeven zijn de lijnen `l: ((x),(y),(z))=((2),(1),(text(-)1))+p((text(-)2),(0),(3))` en `m: ((x),(y),(z))=((3),(text(-)1),(0))+q((4),(2),(1))` .
Laat zien dat de lijnen `l` en `m` elkaar kruisen.
Bereken de afstand tussen de lijnen `l` en `m` . Rond af op twee decimalen.