Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het kortst mogelijke verbindingslijnstuk van een punt op de éne lijn met een punt op de andere lijn.

d

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

0

b

Kies een punt op lijn . De afstand bereken je door de afstand te bereken van een punt tot lijn .

Opgave 2

ongeveer 0,9

Opgave 3
a

b


Je ziet aan de richtingsvectoren dat ze niet evenwijdig lopen (geen veelvoud van elkaar).
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (3) volgt en uit (1) volgt . Dat kan alleen als , maar dan klopt (2) niet.
De lijnen snijden elkaar daarom niet, dus de lijnen kruisen elkaar.

 

c

 

Opgave 4
a

Ja

b

Zie de afbeelding bij c.

c

De hoek tussen lijn en de normaalvector van vlak kun je berekenen met behulp van hun inproduct. Als je deze hoek van aftrekt dan heb je de gevraagde hoek.

Opgave 5
a

en

b

Opgave 6
a

Alleen .

b

c

d

e

f

 

Opgave 7
a

Maak vlak door evenwijdig aan .
Teken lijn door loodrecht op , deze gaat door punt van het vlak .
De gevraagde afstand is de afstand van tot .

b

Die is hetzelfde als de afstand van lijn tot vlak , dus ook (dat zie je door de figuur te draaien). 

c

Deze lijn snijdt het vlak, dus deze afstand varieert van punt tot punt. Hun kortste onderlinge afstand is 0.  

Opgave 8
a

Omdat de richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn, lopen ze niet evenwijdig.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (2) volgt , dit invullen bij (1) geeft . Vul nu beide waarden in bij (3), dan krijg je een tegenspraak (want ).

Dus ze snijden elkaar ook niet, dus kruisen ze elkaar.

b

Opgave 9
a

Het is de hoek tussen en de lijn door en evenwijdig aan . (Draai de figuur zo, dat je langs de -as kijkt.)

b

en .
De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de twee normaalvectoren van de twee vlakken.
en .

Bereken het inproduct.


Deze hoek is de hoek tussen  en , waarbij het punt van is waarbij zowel als loodrecht op staan.

c

Dat is de hoek tussen en .

d

waarbij het snijpunt van en de -as is.

Opgave 10
a

b

 

c

 

Opgave 11
a

cm

b

cm

Opgave 12
a

b

ongeveer 2,54

Opgave 13
a

b

Opgave 14
a

b

c

Snijpunt is en .

d

Opgave 15
a

b

c

d

Nee, de kortste afstand is van tot . Deze afstand is en dit is groter dan .  

Opgave 16

De hoogte van de piramide is ongeveer 4,64 en .

Opgave 17

Mogelijkheid 1:  en 

Mogelijkheid 2:  en

 

Opgave 18

en .

Opgave 19
a

Ongeveer °.

b

Ongeveer °.

c

Ongeveer °.

d

verder | terug