Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het kortst mogelijke verbindingslijnstuk van een punt op de éne lijn met een punt op de andere lijn.

d

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

0

b

Kies een punt `P` op lijn `l` . De afstand bereken je door de afstand te bereken van een punt `P` tot lijn `m` .

Opgave 2

ongeveer 0,9

Opgave 3
a

b

`AT: ((x), (y), (z))=((6), (0), (0))+p((text(-)1), (1), (3))`
`BM: ((x), (y), (z))=((6), (6), (0))+q((text(-)2), (text(-)1), (3))`

Je ziet aan de richtingsvectoren dat ze niet evenwijdig lopen (geen veelvoud van elkaar).
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1) `6-p=6-2q`
(2) `p=6-q`
(3) `3p=3q`

Uit (3) volgt `p=q` en uit (1) volgt `p=2q` . Dat kan alleen als `p=q=0` , maar dan klopt (2) niet.
De lijnen snijden elkaar daarom niet, dus de lijnen kruisen elkaar.

 

c

`d(AT,BM)= sqrt(6)`  

Opgave 4
a

Ja

b

Zie de afbeelding bij c.

c

De hoek tussen lijn `l` en de normaalvector van vlak `V` kun je berekenen met behulp van hun inproduct. Als je deze hoek van `90^@` aftrekt dan heb je de gevraagde hoek.

Opgave 5
a

`vec(n_(ABC))=((2),(2),(3))` en `vec(ED)=((text(-)1,5),(text(-)1,5),(5))`

b

`/_(ED, ABC)~~24^@`

Opgave 6
a

Alleen `S` .

b

`d(PQ,RS)~~1,01`

c

`/_(PQ,RS)~~73^@`

d

`(3 , 2 , 0 )`

e

`/_(PQ,V)~~8^@`

f

`/_(V,PQR)~~15^@`  

Opgave 7
a

Maak vlak `V` door `CT` evenwijdig aan `AB` .
Teken lijn door `(2, 0, 0)` loodrecht op `V` , deze gaat door punt `T` van het vlak `V` .
De gevraagde afstand is de afstand van `(2, 0, 0)` tot `T` .

b

Die is hetzelfde als de afstand van lijn `AB` tot vlak `CDT` , dus ook `2sqrt(2)` (dat zie je door de figuur `90^@` te draaien). 

c

Deze lijn snijdt het vlak, dus deze afstand varieert van punt tot punt. Hun kortste onderlinge afstand is 0.  

Opgave 8
a

Omdat de richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn, lopen ze niet evenwijdig.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1) `2-2p=3+4q`
(2) `1=text(-)1+2q`
(3) `text(-)1+3p=q`

Uit (2) volgt `q=1` , dit invullen bij (1) geeft `p=text(-)5/2` . Vul nu beide waarden in bij (3), dan krijg je een tegenspraak (want `text(-)17/2≠1` ).

Dus ze snijden elkaar ook niet, dus kruisen ze elkaar.

b

`d(l,m)~~2,41`

Opgave 9
a

Het is de hoek tussen `CT` en de lijn door `T` en evenwijdig aan `AB` . (Draai de figuur zo, dat je langs de `y` -as kijkt.)

b

`ABT: x+z=2` en `BCT: y+z=2` .
De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de twee normaalvectoren van de twee vlakken.
`vec(n_(ABT))=((1), (0), (1))` en `vec(n_(BCT))=((0), (1), (1))` .

Bereken het inproduct.

`1=sqrt(2)*sqrt(2)*cos(varphi)`
`varphi=/_(ABT,BCT)=60^@`

Deze hoek is de hoek tussen  `AM` en `MC` , waarbij `M` het punt van `BT` is waarbij zowel `AM` als `MC` loodrecht op `BT` staan.

c

Dat is de hoek tussen `AC` en `CT` .
`∠ACT≈35^@`

d

`/_OPT=45^@` waarbij `P` het snijpunt van `AB` en de `x` -as is.

Opgave 10
a

`/_(V,W)~~80^@`

b

`/_(l,V)~~65^@`  

c

`/_(l, W )= 10 ^@`  

Opgave 11
a

`d(AM,GH)=6` cm

b

`d(BE,AG)=sqrt(6)` cm

Opgave 12
a

`/_(l,V)~~8^@`

b

ongeveer 2,54

Opgave 13
a

`/_(ADT,V)~~ 37 ^@`

b

`d(V, BCT)~~5,69`

Opgave 14
a

`/_(ED,AB)~~70^@`

b

`/_(BD,OBT)~~21^@`

c

Snijpunt is `S(text(-)2, 2, 5)` en `/_(BD,OAT)~~27^@` .

d

`d(OD,TE)~~1,26`

Opgave 15
a

`d(P,AGC)=4/5sqrt(5)`

b

`d(P,GB)=2sqrt(6)`

c

`M(4, 2 sqrt(5), 4)`

d

Nee, de kortste afstand is van `F` tot `BG` . Deze afstand is `sqrt(8)` en dit is groter dan `2` .  

Opgave 16

De hoogte van de piramide is ongeveer 4,64 en `AT~~6,82` .

Opgave 17

Mogelijkheid 1: `|AB|=2 sqrt(2)`  en  `d(AB,PQ)=2/7sqrt(21)`

Mogelijkheid 2: `|AB|=2 sqrt(6)`  en `d(AB,PQ)=2`

 

Opgave 18

`|AB|=2sqrt(6)` en  `d(AB,PQ)=2` .

Opgave 19
a

Ongeveer `66` °.

b

Ongeveer `22` °.

c

Ongeveer `29` °.

d

`2/5sqrt((10 ))`

verder | terug