Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het kortst mogelijke verbindingslijnstuk van een punt op de éne lijn met een punt op de andere lijn.

d

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

b

Kies een punt op lijn . De afstand bereken je door de afstand te bereken van een punt tot lijn .

Opgave 2

Het is handig om gelijk een vergelijking van vlak te maken.
Bereken daartoe het uitproduct van en
Een normaalvector van is . Het vlak is dus te schrijven als .
Dat vind je door bijvoorbeeld punt in te vullen.

Dus vlak .

Nu maak je loodlijn door loodrecht op vlak en snij deze met .
snijden met geeft:
en .
Vul dit in lijn in. Je krijgt .
.

Opgave 3
a

De normaalvector moet loodrecht staan op en op .

Neem bijvoorbeeld en .

b

Gebruik het inproduct van de vectoren en :

geeft .

Dit is de hoek tussen de normaalvecor van vlak en .
De gevraagde hoek is dus .

Opgave 4
a

Alleen .

b

Maak een vlak door evenwijdig aan .
De normaalvector van moet loodrecht staan op en op . Bijvoorbeeld (uitproduct) .
Dus is te schrijven als . Je vindt door bijvoorbeeld punt in te vullen. Dus .

De gevraagde afstand is de afstand van bijvoorbeeld punt tot vlak .
Lijn door loodrecht op snijd je met .
invullen in geeft:

en .

Vul dit in lijn in. Je krijgt .

.

c

Gebruik het inproduct van de vectoren en :

geeft en .

d

snijden met (substitueren):

geeft .

Vul dit in lijn in. Je krijgt als snijpunt .

e

De richtingsvector van is en de normaalvector van is .
Gebruik het inproduct van deze twee vectoren:

geeft .

Dit is de hoek tussen en ; .

f

Een vergelijking van vlak is . De normaalvector is dus . De normaalvector van vlak is .

De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de normaalvectoren van de twee vlakken.
Bereken het inproduct van deze twee vectoren.

geeft .

Opgave 5
a

Maak vlak door evenwijdig aan .
Teken lijn door loodrecht op , deze gaat door punt van het vlak .
De gevraagde afstand is de afstand van tot .

b

Die is hetzelfde als de afstand van lijn tot vlak , dus ook (dat zie je door de figuur te draaien).

c

Deze lijn snijdt het vlak, dus deze afstand varieert van punt tot punt. Hun kortste onderlinge afstand is 0.

Opgave 6
a

Omdat de richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn, lopen ze niet evenwijdig.
Voor een eventueel snijpunt moet gelden:
(1)
(2)
(3)

Uit (2) volgt , dit invullen bij (1) geeft . Vul nu beide waarden in bij (3), dan krijg je een tegenspraak (want ).

Dus ze snijden elkaar ook niet, dus kruisen ze elkaar.

b

Maak vlak door lijn evenwijdig aan lijn .
.

Een normaalvector van dit vlak is .
Een vergelijking van vlak is dan:

Maak nu een lijn door een punt van lijn loodrecht op .
Bijvoorbeeld .
Deze lijn snijden met vlak geeft:
en .

Vul dit in lijn in. Je krijgt .

Nu is de gevraagde afstand de afstand van naar .
Dus is .

Opgave 7
a

Het is de hoek tussen en de lijn door en evenwijdig aan . (Draai de figuur zo, dat je langs de -as kijkt.)

b

en .
De hoek tussen de twee vlakken is de hoek tussen de twee normaalvectoren van de twee vlakken.
en .

Inproduct: geeft .

Deze hoek is de hoek tussen en , waarbij het punt van is waarbij zowel als loodrecht op staan.

c

Dat is de hoek tussen en .

Met het inproduct: geeft .

d

waarbij het snijpunt van en de -as is.

Opgave 8
a

. Je hebt dus de normaalvector van de twee vlakken nodig.

Uitproduct richtingsvectoren: .

Uitproduct richtingsvectoren: .

Inproduct van beide normaalvectoren: geeft .

b

Inproduct richtingsvector en normaalvector geeft:
en .

.

c
Opgave 9
a

Deze twee lijnen liggen in vlakken die evenwijdig zijn ( ligt in zijvlak en ligt in zijvlak ). Dus de gevraagde afstand is de afstand tussen deze twee vlakken, dus .

b

Kies .
Een vector die loodrecht staat op en op is .
Dus een vlak door evenwijdig aan is te schrijven als .
vind je door bijvoorbeeld punt in te vullen. Dus .

Lijn door loodrecht op :


Deze lijn snijden met : en .
Vul dit in lijn in. Je krijgt .

cm.

Opgave 10
a

Het inproduct van de richtingsvector van en de normaalvector is: .
Dus en .

Je moet de scherpe hoek hebben, dus .

b

Een vergelijking van is .

Maak lijn door punt van loodrecht op vlak :

Snijd deze met vlak : geeft .

Vul dit in lijn in. Je krijgt .

Opgave 11
a

Bedenk dat .
Eerst een vergelijking van vlak vinden.
De normaalvector van vlak is hetzelfde als de normaalvector van vlak (omdat ze evenwijdig lopen).
.
Nu een normaalvector van vlak vinden. Deze moet loodrecht staan op en op .

Neem .

De hoek tussen de vlakken en bereken je met behulp van het inproduct van beide normaalvectoren:

geeft .

b

Deze twee vlakken lopen evenwijdig dus is dit de afstand tussen een punt van vlak (bijvoorbeeld ) tot vlak .
Maak een loodlijn door loodrecht op vlak :

.

Deze lijn snijden met vlak geeft: en .

Vul dit in lijn in. Je krijgt .
.

Opgave 12
a

en .

Inproduct: geeft .

b

en .

Inproduct: geeft .
Dus .

c

.
Vergelijking van vlak , door de punten , en in te vullen weet je dat , , dus en . Kies , dan .
Dus vlak .

Lijn snijden met vlak : geeft .
Dus snijpunt is .

Bereken het inproduct van met :

geeft , dus

d

en .
Laat het vlak door evenwijdig met , dan . Een normaalvector van is . Dus een vergelijking van is .
Maak nu een loodlijn door loodrecht op vlak .

Snijden met geeft: en .
Dit invullen in geeft snijpunt .
.

Opgave 13
a

Bedenk .
Omdat vlak door de punten , en gaat moet gelden:
, en . Kies , dan is , en .
Dus .
Maak lijn door loodrecht op : .
Deze lijn snijden met vlak : geeft .
Snijpunt .
.

b


Een punt op is te schrijven als .
moet loodrecht staan op de richtingsvector van , dus loodrecht op .
Hun inproduct is dus , ofwel .

Dus en .

c


Lijn door loodrecht op : .
Deze lijn snijden met geeft: en .
Snijpunt .
.
Ofwel , dus .

Dus .

d

Nee, de kortste afstand is van tot . Deze afstand is en dit is groter dan .

Opgave 14

Noem het snijpunt van en (het midden van vierkant dus). Dus . Omdat een regelmatige vierzijdige piramide is, staat loodrecht op het vlak , dus loodrecht op en op .
Neem als .
ligt dus op lijn door met richtingsvector , ofwel op .
Ook ligt in vlak , dus moet je lijn snijden met vlak .

Dit geeft en .
De top is .

Dan is de hoogte .

En .

Opgave 15Kruisende lijnen
Kruisende lijnen

Je kunt hier kiezen uit een zuiver meetkundige aanpak of een aanpak met coördinaten.
Hier zie je een uitwerking met behulp van coördinaten.

Mogelijkheid 1:

De lengte van lijnstuk is .
Kies voor lijn de -as en voor punt de oorsprong .
Lijn ligt in een vlak even wijdig het -vlak door .

De hoek tussen de lijnen en is , dus lijn .
Verder is of , neem eerst .

Kies punt  op lijn op afstand van met een positieve -coördinaat. Dit geeft
Verder is gegeven dat , dus .
Uitwerken geeft , zodat .
Dus .

Nu nog de afstand van tot .

ligt in vlak en ligt in vlak . Dus .

Mogelijkheid 2:

Neem nu .

Kies punt  op lijn op afstand van met een positieve -coördinaat. Dit geeft
Verder is gegeven dat , dus .
Uitwerken geeft , zodat .
Dus .

Nu nog de afstand van tot .

Daarvoor moet je een vlak maken waar in ligt en dat evenwijdig is met , dus met de -as. De gevraagde afstand is dan een loodlijnstuk vanuit op dit verticale vlak. In een bovenaanzicht kun je de lengte ervan met gelijkvormigheid berekenen. Je vindt .

Opgave 16
a

Ongeveer .

b

Ongeveer .

c

Ongeveer .

d

verder | terug