Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

`T.ABCD` is een regelmatige vierzijdige piramide met `A(2, text(-)2, 0)` , `B(2, 2, 0)` en `T(0, 0, 2)` . Laat zien dat lijn `AB` en lijn `CT` elkaar kruisen en bereken hun kortste onderlinge afstand.

> antwoord

`AB` : `((x), (y), (z))=((2), (0), (0))+p((0), (1), (0))` en
`CT` : `((x), (y), (z))=((text(-)2), (2), (0))+q((1), (text(-)1), (1))`

Beide lijnen zijn niet evenwijdig want hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar. Ze snijden of kruisen elkaar dus. Voor een snijpunt moeten er waarden van `p` en `q` bestaan waarvoor `(2, p, 0) = (text(-)2+q, 2-q, q)` .
Ga na dat dergelijke waarden van `p` en `q` niet bestaan. De twee lijnen kruisen elkaar dus.

Hun kortste onderlinge afstand is de afstand van een punt van `AB` (bijvoorbeeld `(2, 0, 0)` ) tot een vlak waar `CT` in ligt en dat evenwijdig is met `AB` . Hier is dat vlak `CDT` . Een vergelijking van dit vlak is `x - z = text(-)2` (ga zelf na). Stel nu lijn `m` door `(2, 0, 0)` en loodrecht op vlak `CDT` op en snijd deze met ditzelfde vlak `CDT` .
Dus `m: ((x), (y), (z))=((2), (0), (0))+r((1), (0), (text(-)1))` snijden met `x-z=text(-)2` geeft `2+r+r=text(-)2` . Hieruit volgt dat `r=text(-)2` . Door deze waarde in te vullen in `m` krijg je het punt `(0, 0, 2)` , dit punt ligt het dichtst bij punt `(2, 0, 0)` . De afstand tussen deze twee punten is dan `sqrt((text(-)2)^2+0^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)` . Dit is de afstand van lijn `AB` tot lijn `CD` .

Opgave 7

In het voorbeeld wordt de (kortste) afstand tussen twee kruisende lijnen berekend.

a

Maak de beschreven werkwijze duidelijk in een eigen tekening.

b

Wat is de afstand van lijn `AD` tot vlak `BCT` ?

c

`M` is het midden van `AB` . Waarom heeft het vragen naar de afstand tussen lijn `DM` en vlak `BCT` geen betekenis?

Opgave 8

Gegeven zijn de lijnen `l: ((x),(y),(z))=((2),(1),(text(-)1))+p((text(-)2),(0),(3))` en `m: ((x),(y),(z))=((3),(text(-)1),(0))+q((4),(2),(1))` .

a

Laat zien dat de lijnen `l` en `m` elkaar kruisen.

b

Bereken de afstand tussen de lijnen `l` en `m` . Rond af op twee decimalen.

verder | terug