Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

is een regelmatige vierzijdige piramide met , en . Laat zien dat lijn en lijn elkaar kruisen en bereken hun kortste onderlinge afstand.

> antwoord

: en
:

Beide lijnen zijn niet evenwijdig want hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar. Ze snijden of kruisen elkaar dus. Voor een snijpunt moeten er waarden van en bestaan waarvoor .
Ga na dat dergelijke waarden van en niet bestaan. De twee lijnen kruisen elkaar dus.

Hun kortste onderlinge afstand is de afstand van een punt van (bijvoorbeeld ) tot een vlak waar in ligt en dat evenwijdig is met . Hier is dat vlak . Een vergelijking van dit vlak is (ga zelf na). Stel nu lijn door en loodrecht op vlak op en snijd deze met ditzelfde vlak .
Dus snijden met geeft . Hieruit volgt dat . Door deze waarde in te vullen in krijg je het punt , dit punt ligt het dichtst bij punt . De afstand tussen deze twee punten is dan . Dit is de afstand van lijn tot lijn .

Opgave 5

In het Voorbeeld 1 wordt de (kortste) afstand tussen twee kruisende lijnen berekend.

a

Maak de beschreven werkwijze duidelijk in een eigen tekening.

b

Hoe groot is de afstand van lijn tot vlak ?

c

is het midden van . Waarom heeft het vragen naar de afstand tussen lijn en vlak geen betekenis?

Opgave 6

Gegeven zijn de lijnen en .

a

Laat zien dat de lijnen en elkaar kruisen.

b

Bereken de afstand tussen de lijnen en . Rond af op twee decimalen.

verder | terug