Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

`T.ABCD` is een regelmatige vierzijdige piramide met `A(2, text(-)2, 0)` , `B(2, 2, 0)` en `T(0, 0, 2)` .
Bereken de hoek die lijn `CT` maakt met vlak `ABT` .
Bereken ook de hoek die de vlakken `ABT` en `BCT` met elkaar maken.

> antwoord

 

`CT` : `((x), (y), (z))=((text(-)2), (2), (0))+q((1), (text(-)1), (1))` en `ABT` : `x + z = 2` .

Om de hoek die `CT` maakt met `ABT` te bepalen, bereken je eerst de hoek `varphi` tussen een richtingsvector van de lijn en een normaalvector van het vlak met behulp van het inproduct:
`((1),(text(-)1),(1))*((1),(0),(1)) = 2 = sqrt(3)*sqrt(2)*cos(varphi)` geeft `varphi~~35^@` .
De hoek tussen lijn `CT` en vlak `ABT` is ongeveer  `90^@-35^@=55^@` .

De hoek tussen de vlakken `ABT` en `BCT` is de hoek tussen beide normaalvectoren van die vlakken. Ga zelf na, dat de hoek tussen beide vlakken `60^@` is. (De normaalvectoren van beide vlakken kun je uit de figuur aflezen.)

Opgave 9

Omdat de hoek tussen een lijn en een vlak, of die tussen twee vlakken, vaak lastig te zien is in een figuur wordt in het voorbeeld getoond hoe je ze met behulp van de normaalvectoren van het vlak kunt berekenen.

a

Loop de berekening van de hoek tussen `CT` en vlak `ABT` na. Kun je die hoek ook in de figuur aangeven? Hoe dan?

b

Laat met een berekening zien, dat de hoek tussen de vlakken `ABT` en `BCT` inderdaad `60^@` is. Waar zit die hoek in de figuur?

c

Het is nuttig als je in "eenvoudige" gevallen zelf de gevraagde hoek kunt zien. Welke hoek is de hoek tussen `CT` en vlak `ABCD` ? Hoe groot is die hoek?

d

Welke hoek is de hoek tussen de vlakken `ABT` en `ABCD` ? Hoe groot is die hoek?

Opgave 10

Gegeven zijn twee vlakken en een lijn:

`V: ((x), (y), (z))=((text(-)1), (1), (2))+p((2), (1), (text(-)1))+q((text(-)5), (0), (3))`
`W: ((x), (y), (z))=((4), (1), (2))+r((5), (text(-)2), (6))+s((3), (2), (2))`
`l: ((x), (y), (z))=((0), (1), (3))+t((1), (text(-)2), (3))`

a

Bereken de hoek tussen de twee vlakken `V` en `W` .

b

Bereken de hoek tussen lijn `l` en vlak `V` . 

c

Bereken de hoek tussen lijn `l` en vlak `W` .   

verder | terug