Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Hier zie je vlak en lijn . Ook de normaalvector van het vlak in punt is getekend. De lijn en het vlak snijden elkaar in punt , maar onder welke hoek?
Ook nu is het belangrijk om vanuit een goede hoek naar de figuur te kijken. Je moet namelijk precies langs het vlak kijken (je ziet het vlak dan als lijn). Maar zelfs dan zijn er nog meerdere hoeken mogelijk. Je moet ook loodrecht op het vlak door de lijn en de normaal kijken.

De hoek die de lijn en vlak met elkaar maken is dan te zien. Het is de hoek tussen lijn en zijn loodrechte projectie waarbij in vlak ligt.
Deze hoek is samen met de hoek tussen lijn en de normaalvector precies .
Je berekent de hoek tussen lijn en vlak door de hoek tussen de richtingsvector van de lijn en de normaalvector van het vlak te berekenen.
De gevraagde hoek is dan het complement daarvan, dus .
Met andere woorden:

Zo kun je ook inzien dat de hoek tussen twee vlakken en gelijk is aan de hoek tussen de normaalvectoren van die twee vlakken. Met andere woorden: . Vectorrekening blijkt nu heel erg handig te zijn. Want om die hoeken in een figuur te herkennen is vaak nog een hele klus.

Opgave 4

In de uitleg zie je dat de hoek tussen een lijn en een vlak wordt berekend door de hoek tussen de normaalvector van het vlak en de richtingsvector van de lijn te berekenen.

a

De hoek tussen een lijn en een vlak wordt wel gedefinieerd als de hoek tussen de lijn en zijn loodrechte projectie op het vlak. Komt deze definitie overeen met de hoek die in de uitleg wordt berekend?

b

Teken een horizontaal vlak dat niet loodrecht gesneden wordt door een lijn. Laat zien welke hoek bedoeld wordt met de hoek tussen de lijn en het vlak.

c

Teken vervolgens ook de normaalvector door het snijpunt van de lijn met het vlak. 
Leg nu in eigen woorden uit hoe je de hoek tussen de lijn en het vlak kunt berekenen.

Opgave 5

Bekijk nogmaals de uitleg.

Gegeven zijn de punten en .

Je gaat in deze opgave de hoek tussen vlak met lijn berekenen.

a

Bereken eerst een normaalvector van het vlak .  Bepaal ook een richtingsvector van lijn .

b

Bereken nu de hoek tussen vlak en lijn in graden nauwkeurig.

Opgave 6

Gegeven zijn de punten en en het vlak .

a

Welke van deze punten liggen in vlak ?

b

Bereken de kortste onderlinge afstand van de lijnen en . Rond af op twee decimalen.

c

Bereken in graden nauwkeurig de hoek die de lijnen en met elkaar maken.

d

Bereken het snijpunt van lijn met vlak .

e

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder lijn het vlak snijdt.

f

Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de vlakken en .

verder | terug