Vectoren in 3D > Hoeken en afstanden
1234567Hoeken en afstanden

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Hier zie je vlak `ABC` en lijn `AD` . Ook de normaalvector van het vlak in punt `A` is getekend. De lijn en het vlak snijden elkaar in punt `A` , maar onder welke hoek?
Ook nu is het belangrijk om vanuit een goede hoek naar de figuur te kijken. Je moet namelijk precies langs het vlak kijken (je ziet het vlak dan als lijn). Maar zelfs dan zijn er nog meerdere hoeken mogelijk. Je moet ook loodrecht op het vlak door de lijn `AD` en de normaal kijken.

De hoek die de lijn `AD` en vlak `ABC` met elkaar maken is dan te zien. Het is de hoek tussen lijn `AD` en zijn loodrechte projectie `AD'` waarbij `D'` in vlak `ABC` ligt.
Deze hoek is samen met de hoek tussen lijn `AD` en de normaalvector precies `90^@` .
Je berekent de hoek tussen lijn `AD` en vlak `ABC` door de hoek `varphi` tussen de richtingsvector van de lijn en de normaalvector van het vlak te berekenen.
De gevraagde hoek is dan het complement daarvan, dus `90^@ - varphi` .
Met andere woorden: `/_(l,V)=90^@-/_(vec(rv_l),vec(n_V))`

Zo kun je ook inzien dat de hoek tussen twee vlakken `V` en `W` gelijk is aan de hoek tussen de normaalvectoren van die twee vlakken. Met andere woorden: `/_(V,W)=/_(vec(n_V),vec(n_W))` . Vectorrekening blijkt nu heel erg handig te zijn. Want om die hoeken in een figuur te herkennen is vaak nog een hele klus.

Opgave 4

In de uitleg zie je dat de hoek tussen een lijn en een vlak wordt berekend door de hoek tussen de normaalvector van het vlak en de richtingsvector van de lijn te berekenen.

a

De hoek tussen een lijn en een vlak wordt wel gedefinieerd als de hoek tussen de lijn en zijn loodrechte projectie op het vlak. Komt deze definitie overeen met de hoek die in de uitleg wordt berekend?

b

Teken een horizontaal vlak dat niet loodrecht gesneden wordt door een lijn. Laat zien welke hoek bedoeld wordt met de hoek tussen de lijn en het vlak.

c

Teken vervolgens ook de normaalvector door het snijpunt van de lijn met het vlak. 
Leg nu in eigen woorden uit hoe je de hoek tussen de lijn en het vlak kunt berekenen.

Opgave 5

Bekijk nogmaals de uitleg.

Gegeven zijn de punten `A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2), D(0, 0, 5)` en `E(1,5; 1,5; 0)` .

Je gaat in deze opgave de hoek tussen vlak `ABC` met lijn `ED` berekenen.

a

Bereken eerst een normaalvector van het vlak `ABC` .  Bepaal ook een richtingsvector van lijn `ED` .

b

Bereken nu de hoek tussen vlak `ABC` en lijn `ED` in graden nauwkeurig.

Opgave 6

Gegeven zijn de punten `P(5 , 0 , 0 ),Q(0 , 5 , 0 ),R(0 , 0 , 5 )` en `S(10 , 4 , text(-)5 )` en het vlak `V:2 x+3 y+4 z=12` .

a

Welke van deze punten liggen in vlak `V` ?

b

Bereken de kortste onderlinge afstand van de lijnen `PQ` en `RS` . Rond af op twee decimalen.

c

Bereken in graden nauwkeurig de hoek die de lijnen `PQ` en `RS` met elkaar maken.

d

Bereken het snijpunt van lijn `PQ` met vlak `V` .

e

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder lijn `PQ` het vlak `V` snijdt.

f

Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de vlakken `PQR` en `V` .

verder | terug