Krommen en oppervlakken

Opgave 9

Bepaal de top, de as en de halve tophoek van de kegel waarvan deze vergelijking of parametervoorstelling is gegeven.

a

$x^{2} + z^{2} = 0,5 y^{2} - 4 x + 4 y - 4 z$

b

$(x, y, z) = (v, 2 v cos (u) + 3, 2 v sin (u) + 4)$

Opgave 10

In de ruimtemeetkunde bestaat een kegel vaak niet uit twee delen met de top $T$ in de midden, maar slechts uit één gedeelte waarvan de top dan ook echt het hoogste punt is. Verder loopt zo'n kegel meestal niet oneindig door, maar heeft hij een bepaalde hoogte en een grondcirkel.
Hier zie je zo'n kegel. De tophoek is $T (1, 1, 4)$ , het middelpunt van de grondcirkel is $M (1, 1, 0)$ en de straal van de grondcirkel is `4` . Verder zijn gegeven de punten $A (4, 0, 2)$ en $B (0, 6, 1)$ .

a

Stel een vergelijking op voor deze kegel. Geef de begrenzing aan door te vermelden welke waarden $z$ mag aannemen.

b

Stel een parametervoorstelling op van de lijn $l$ door $A$ en $B$ en onderzoek of $l$ de kegel snijdt.

c

Laat zien, dat de doorsnede van deze kegel met het vlak $y = 0$ een tak van een hyperbool is.

Opgave 11

Gegeven is in een rechthoekig $O x y z$ -assenstelsel de kegel $K$ door de vergelijking $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ .

a

Bereken de tophoek van deze kegel.

b

Stel een parametervoorstelling op voor $K$ .

c

Toon aan dat het vlak $y = z$ de kegel raakt.

d

Stel een vergelijking op van het raakvlak aan deze kegel dat door het punt $P (3, 4, 5)$ gaat.

e

Het vlak met vergelijking $z = x + 2$ snijdt deze kegel volgens een kromme $k$ . Welke vorm heeft deze kromme? Beschrijf hem met passende vergelijkingen.

Opgave 12

Gegeven zijn de bol $B$ en de kegel $K$ door de vergelijkingen

$B : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 16$

en

$K : {(x - 4)}^{2} - {(y - 4)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 0$

a

Teken de loodrechte projecties van deze twee oppervlakken op elk van de drie coördinaatvlakken.

b

Toon aan dat de doorsnijdingskrommen met die coördinaatvlakken cirkels zijn en bereken middelpunt en straal ervan. Geef ze in je figuur aan.

De hoek waaronder twee oppervlakken elkaar in een bepaald punt snijden is de hoek tussen de raakvlakken aan deze oppervlakken in dat punt.

c

Onder welke hoek snijden beide oppervlakken elkaar in elk punt van een snijcirkel?

Opgave 13

De uitslag van een meetkundige kegel is een deel van een cirkel. Je knipt daartoe de kegelmantel open langs een rechte lijn vanuit de top naar de grondcirkel. In sommige gevallen is die uitslag precies een halve cirkel.

a

Hoe groot is in dat geval de halve tophoek van de kegel?

b

Neem aan dat de halve cirkel een booglengte van $10 π$ heeft. Hoe hoog is dan de kegel?

c

Deze kegel wordt in een rechthoekig $O x y z$ -assenstelsel geplaatst met de grondcirkel in het $x y$ -vlak en de $z$ -as als as. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van de kegel op.

d

Er zijn twee vlakken die de kegel raken in de punten op de grondcirkel met $x = 4$ . Welke hoek maken deze vlakken met elkaar?

Verwerken