Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Kegels en kegelsneden

1234567Kegels en kegelsneden

Voorbeeld 3

De kegel `K` met vergelijking `x^2+y^2=0,25z^2` wordt gesneden door het vlak `V` met vergelijking `x=3` . Toon aan dat de kegelsnede die hierdoor ontstaat een hyperbool is.

> antwoord

De punten van de doorsnede van `K` en `V` moet aan beide vergelijkingen voldoen.
Daarom geldt voor die punten `3^2+y^2=0,25z^2` .

Dit kun je schrijven als $\frac{z^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

En dat is de vergelijking van een hyperbool in een `Oyz` -assenstelsel waarvan de `z` -as de symmetrieas is.

Opgave 8

In de Theorie zie je welke krommen als kegelsnede kunnen voorkomen.
In Voorbeeld 3 wordt aangetoond dat de doorsnede van de kegel $x^{2} + y^{2} = 0,25 z^{2}$ en het vlak $x = 3$ een hyperbool is.

Loop het voorbeeld na.

Neem nu in plaats van het vlak $x = 3$ het vlak met vergelijking $x + z = 3$ . Toon aan dat de bijbehorende kegelsnede nu een ellips is.

Levert de doorsnede van elk vlak met vergelijking $x + z = p$ en de kegel een ellips op? Waarom?

Wil de kegelsnede een parabool zijn, dan moet het vlak waarmee de kegel wordt doorsneden een even grote hoek met de as van de kegel maken als de halve tophoek.

Laat zien, dat dit geldt voor het vlak `2x + z = 6` .

Toon aan dat de bij d horende kegelsnede inderdaad een parabool is.

verder | terug