Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Totaalbeeld

1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

`vec(n_(ABT))=((0), (text(-)1), (1))` en `vec(n_(ACT))=((1), (0), (0))` .

Het inproduct van beide normaalvectoren is `0` , dus staan de vlakken loodrecht op elkaar.

`vec(BT)=((text(-)4), (3), (3))` en `vec(AC)=((0), (1), (0))` .
Een vector die loodrecht staat op beide bovenstaande vectoren is `vec(n)=((3), (0), (4))`
Dus vlak `W` door `BT` en evenwijdig met `AC` is `W: 3x+4z=12` .
Maak lijn door bijvoorbeeld punt `C` loodrecht op vlak `W: ((x), (y), (z))=((0), (3), (0))+t((3), (0), (4))` .
Deze lijn snijden met vlak `W` geeft: `25t=12` en `t=12/25` .
`text(d)(BT, AC)=sqrt((36/25)^2+0^2+(48/25)^2)=2,4` .

`BCT: 3x+2y+2z=6` , dus `vec(n_(BACT))=((3), (2), (2))` .
`vec(AB)=((1), (0), (0))` .

Inproduct van `vec(n)` en `vec(AB)` : `3=sqrt(17)*1*cos(varphi)` geeft `varphi~~43^@` .
Dus `/_(AB,BCT)=90^@-43^@~~47^@` .

Opgave 2

GeoGebra:

`E(text(-)3 , 9 , 0 )` op `CB: ((x),(y),(z))=((text(-)3),(0),(0))+p((0),(1),(0))` klopt voor `p=9` .

`EF: ((x),(y),(z))=((1),(text(-)1),(4))+t((2),(text(-)5),(2))` en `TAB:2y+z=6` (vul de coördinaten van `T` , `A` en `B` in de algemene vergelijking van een vlak).
Om het snijpunt te vinden substitueer je lijn `EF` in vlak `V` , dit geeft: `2(text(-)1-5t)+4+2t=6` en `t=text(-)1/2` .

Deze waarde invullen bij `EF` geeft snijpunt `(0 ; 1,5 ; 3 )` .

`P(1, text(-)1, 0)` is het punt vlak `ABCD` dat recht onder punt `F` ligt.
Gevraagd wordt de lengte van lijnstuk `BP` , ofwel van `vec(BP)=((4), (text(-)4), (0))` .
`|vec(BP)|=sqrt(4^2+9text(-)4)^2+0^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)` .

Eerst vergelijking van vlak `V` opstellen.
Zoek een normaalvector van `V` , met het uitproduct van `vec(FA)=((2), (4), text(-)4))` en `vec(BD)=((1), (text(-)1), (0))` . Neem `vec(n_V)=((2), (2), (3))` .
Dus `V: 2x+2y+3z=12` .
Dit vlak snijden met `BT: ((x), (y), (z))=((0), (0), (6))+p((1), (text(-)1), (2))` .
Door substitutie van `BT` in `V` vind je: `2p-2p+3(6+2p)=12` en `p=text(-)1` .
Deze waarde invullen bij `BT` geeft `G(text(-)1 , 1 , 4 )` .

Punt `H` is te schrijven als `(3, h, 0)` .
Inproduct van `vec(CT)=((3),(3),(6))` en `vec(OH)=((3),(h),(0))` :

`9 +3 h=sqrt(54)*sqrt((9 +h^2))*2/ (sqrt(15))` geeft `h=1` .

Dus `H(3 , 1 , 0 )` .

Opgave 3

Deze verzameling is een vlak `V` dat loodrecht staat op de vector `vec(PQ)` en door het midden gaat van het lijnstuk `PQ` (het zogenaamde middelloodvlak van `PQ` ).
`vec(PQ)=((text(-)4), (text(-)2), (6))`
De twee richtingsvectoren van `V` moeten hier loodrecht op staan, neem bijvoorbeeld `((1), (1), (1))` en `((1), (text(-)2), (0))` .
Het midden van lijnstuk `PQ` is het punt `M(6, text(-)2, 3)` .
Dus vlak `V: ((x), (y), (z))=((6), (text(-)2), (3))+p((1), (1), (1))+q((1), (text(-)2), (0))` .

Opgave 4

`AT: ((x),(y),(z))=((5),(1),(0))+p((-1),(1),(2))` en `CT: ((x),(y),(z))=((3),(5),(0))+q((0),(-1),(2))` .

Het inproduct van beide richtingsvectoren `3=sqrt(6)*sqrt(5)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AT,CT)~~57^@` .

`CE: ((x), (y), (z))=((3), (5), (0))+u((1), (1), (0))` en
`AF: ((x), (y), (z))=((5), (1), (0))+v((1), (0), (0))` .
Aan elkaar gelijkstellen levert snijpunt `(text(-)1, 1, 0)` .

`DT: ((x), (y), (z))=((1), (5), (0))+w((1), (text(-)1), (2))`
Punt `P` van `DT` is te schrijven als `P(1+w, 5-w, 2w)` .
`vec(AP)=((w-4), (4-w), (2w))` moet loodrecht staan op richtingsvector van `DT` .
Hun inproduct moet `0` zijn, dus: `w-4+w-4+4w=0` en `w=4/3` .
Dus `vec(AP)=((text(-)8/3), (8/3), (8/3))` en
`text(d)(A, DT)=|vec(AP)|=sqrt((text(-)8/3)^2+(8/3)^2+(8/3)^2)=8/3sqrt(3)~~4,62`

Opgave 5

Doen, gebruik eventueel GeoGebra.

De punten `B` , `F` en `P` liggen in één vlak en niet op één lijn. Punt `D` ligt niet in dat vlak, dus snijdt de lijn `BF` de lijn `DP` niet.
Verder is `vec(BF)=((0), (text(-)1), (1))` en `vec(DP)=((4), (3), (3))` .
Hun inproduct is `0` , dus staan ze loodrecht op elkaar.

`AP=((x),(y),(z))=((4), (0), (0))+t((text(-)4), (text(-)3), (3))` , dus het punt `K` van `AP` is te schrijven als `K(4-4t, text(-)3t, 3t)` .
Uit `|vec(KF)|=|vec(KB)|` volgt: `sqrt((4t-4)^2+(3-3t)^2+(3t-6)^2)=` `sqrt((4t-4)^2+(3+3t)^2+(text(-)3t)^2)` .
Uitschrijven geeft `72t=36` , ofwel `t=0,5` , dit geeft `K=(2;text(-)1,5;1,5)` .

`vec(KD)=((2), ({:1,5:}), ({:4,5:}))` en `vec(KB)=((2), ({:text(-)4,5:}), ({:1,5:}))` .
`|vec(KD)|=sqrt(2^2+(1,5)^2+(4,5)^2)=sqrt(25,5)` en `|vec(KB)|=sqrt(2^2+(text(-)4,5)^2+(1,5)^2)=sqrt(25,5)` .
Omdat `|vec(KD)|=|vec(KB)|` is driehoek `BDK` gelijkbenig.

`BF: ((x), (y), (z))=((0), (3), (0))+s((0), (text(-)1), (1))` . Dus punt `L` is te schrijven als `L(0, 3-s, s)` .
Vlak `ABC` heeft een oppervlakte van 12 (neem `|BC|=6` als basis en de hoogte `|OA|=4` ).
De inhoud van `L.ABC` is `I(L.ABC)=1/3*12*s=4s` .
Deze moet `10` zijn, dus `s=2,5`
Dit geeft punt `L(0; 0,5; 2,5)` .

Opgave 6

Gebruik eventueel GeoGebra.

`M(3, 3, 3)` en `N(3, 3, text(-)3)` .
`vec(MN)=((0),(0),(1))` en `vec(MF)=((text(-)3),(1),(text(-)1))` .
Hun inproduct is: `text(-)1=1*sqrt(11)*cos(varphi)` .
Dus `cos(varphi)=|text(-)1|/sqrt(11)` , ofwel `varphi=/_(MN,MF)~~72^@` .

Vlak `CMN: ((x), (y), (z))=((text(-)6), (0), (0))+u((3), (1), (1))+v((3), (1), (text(-)1))` .
Normaalvector van `V` is `((1), (text(-)3), (0))` , dus vergelijking vlak `CMN: x-3y=text(-)6` .
Snijden met `DG` (er geldt: `x=0` en `z=6` ) geeft `Q(0 , 2 , 6 )` en
snijden met `BE` (er geldt: `x=0` en `z=text(-)6` ) geeft `R(0 , 2 , text(-)6 )` .

Opgave 7

`B(14 , text(-)2 , 0 ), E(6 , text(-)8 , 10 ), F(14 , text(-)2 , 10 )` en `G(8 , 6 , 10 )` zijn de andere hoekpunten.

`AG: ((x),(y),(z))=((6),(text(-)8),(0))+t((2),(14),(10))` en `OBFD: x+7y=0` (verticaal vlak door `O` ).
Lijn `l` opstellen door `P(6 +2 t, text(-)8 +14t, 10t)` op `AG` en loodrecht op `OBFD` .
`l: ((x), (y), (z))=((6+2t), (text(-)8+14t), (10t))+q((1), (7), (0))`
Dit invullen in vlak `OBFD` (voor snijpunt) geeft: `6+2t+q+7(text(-)8+14t+7q)=0` en `q=1-2t` .

Deze waarde invullen in lijn `l` , geeft snijpunt `S(7, text(-)1, 10t)` .
Afstand `PS` moet `sqrt(8)` zijn, dus `|PS|= sqrt((2t-1)^2+(14t-7)^2+0^2)=sqrt(8)` .
Uitschrijven geeft: `200t^2-200t+42=0` en dus `t=0,3 ∨ t=0,7` .
Deze waarden invullen in `P` geeft gevraagde punten `(6,6; text(-)3,8; 3)` en `(7,4; 1,8; 7)` .

Vlak `V` door `P(0, 0, 15), M(6, text(-)8, 5)` en `N(8, 6, 5)` opstellen.
`vec(PM)=((6), (text(-)8), (text(-)10))` en `vec(P)=((8), (6), (text(-)10))` .
Normaalvector `vec(n)=((7), (text(-)1), (5))` .
Dus vlak `V: 7x-y+5z=75` ( `75` vind je door een punt in te vullen).

`V` snijden met `DE` geeft snijpunt `(3 , text(-)4 , 10 )` .
`V` snijden met `AB` geeft snijpunt `(10 , text(-)5 ,0 )` .
`V` snijden met `BC` geeft snijpunt `(11 , 2 , 0 )` .
`V` snijden met `AB` geeft snijpunt `(4 , 3 , 10 )` .

`V: 7x-y+5z=75` en grondvlak `OABC: z=0` .
De twee normaalvectoren zijn `vec(n_V)=((7), (text(-)1), (5))` en `vec(n_(OABC))=((0), (0), (1))` .

Inproduct: `5=sqrt(75)*1*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(V,OABC)~~55^@` .

De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van `10` . Dus moet de breedte `1` zijn.
De lijn `x=p` snijdt ribbe `OA: ((x), (y), (z))=r((3), (text(-)4), (0))` in `(p, text(-)4/3p, 0)` en ribbe `OC: ((x), (y), (z))=s((4), (3), (0))` in `(p, 3/4p, 0)` .
De breedte van de rechthoek is het verschil van de `y` -coördinaten van de twee snijpunten, dus: `3/4p+4/3p=1` en `p=12/25` .

Opgave 8Octaëder

Octaëder

De hoek tussen twee van dergelijke vlakken is ongeveer `109,5^@` . Dit kan met vectorrekening, dan eerst een assenstelsel invoeren.

`60^@` en `90^@` .

Opgave 9Drievlakkenstelling

Drievlakkenstelling

`P` op `OT` , `Q` op `AT` en `R` op `CT` .

Doen, gebruik eventueel GeoGebra.

Van de vlakken `PQR` , `OAT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `K` . `K` is het snijpunt van `PQ` en `OA` (de `x` -as). Van de vlakken `PQR` , `OCT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `L` . `L` is het snijpunt van `PR` en `OC` (de `y` -as). `KL` is nu de snijlijn van `PQR` met het grondvlak `OABC` .

`PQR:12 x+8 y+7 z=96` en `OABC:z=0` . Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR` , `OABC` en de `x` -as: `K(8 , 0 , 0 )` . Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR` , `OABC` en de `y` -as: `L(0 , 12 , 0 )` .

Doen.

Opgave 10Spelen met Polydron

Spelen met Polydron

`E(3 , text(-)3 , 3 sqrt(3))` , `F(3 , 3 , 3 sqrt(3)),G(text(-)3 , 3 , 3 sqrt(3))` , `H(text(-)3 , text(-)3 , 3 sqrt(3))` en `T(0 , 0 , 3 sqrt(3)+3 sqrt(2))` .

De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer `5,3^@` .

`BF` en `GT` hebben geen snijpunt.
Een vlak door `BF` en evenwijdig `GT` is `(sqrt(3 )-sqrt(2 ))x+sqrt(3 )y+z=9 sqrt(3 )-3 sqrt(2 )` .
Bereken de afstand van `T` tot dit vlak: `text(d)(BF,GT)= ((6 sqrt(3 )-6 sqrt(2 ))) / (sqrt((8 -2 sqrt(6 ))))` .

Inproduct van hun richtingsvectoren geeft ongeveer `71,4^@` .

`ECT: (sqrt(3 )+3 sqrt(2 ))x+(sqrt(3 )+4 sqrt(2 ))y+z=3 sqrt(3 )+15 sqrt(2 )` . Dit vlak snijdt `AB` en `HG` .

Opgave 11Vlak in piramide

Vlak in piramide

`B(6 , 6 , text(-)6 sqrt(2))` , `D(6 , 6 , 6 sqrt(2))` .
De doorsnede wordt een vijfhoek `KLMNP` met (bijvoorbeeld) `K(12 , 8 , 0 )` , `L(8 , 8 , text(-)4 sqrt(2))` , `M(4 , 8 , text(-)4 sqrt(2))` , `N(4 , 8 , 4 sqrt(2))` en `P(8 , 8 , 4 sqrt(2))` .

`48 sqrt(2)`

`(4 , 8 , 2 2/3 sqrt(2))`

`6 sqrt(7)`

(bron: examen wiskunde B havo 1985, eerste tijdvak)

verder | terug