Meetkunde in 3D > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Een driezijdige piramide `T.ABC` is gegeven door `A(0 , text(-)3 , 0 )` , `B(4 , text(-)3 , 0 )` , `C(0 , 3 , 0 )` en `T(0 , 0 , 3 )` .

a

Toon aan dat de vlakken `ABT` en `ACT` loodrecht op elkaar staan.

b

Bereken de afstand tussen de lijnen `BT` en `AC` .

c

Bereken in graden nauwkeurig de hoek die vlak `BCT` maakt met lijn `AB` .

Opgave 2

Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide `T.ABCD` door `T(0 , 0 , 6 )` , `A(3 , 3 , 0 )` , `B(text(-)3 , 3 , 0 )` , `C(text(-)3 , text(-)3 , 0 )` en `D(3 , text(-)3 , 0 )` .
Verder zijn gegeven de punten `E(text(-)3 , 9 , 0 )` en `F(1 , text(-)1 , 4 )` .

a

Teken deze piramide.

b

Toon aan, dat `E` op het verlengde van `CB` ligt.

c

Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn `EF` en vlak `TAB` .

d

Bereken de lengte van de loodrechte projectie van lijnstuk `BF` op vlak `ABCD` .

Vlak `V` gaat door `A` en `F` en is evenwijdig aan `BD` . `V` snijdt ribbe `BT` in punt  `G` .

e

Bereken de coördinaten van `G` .

Op ribbe `AD` ligt een punt `H` zo, dat de cosinus van de hoek tussen `OH` en `CT` gelijk is aan `2/(sqrt(15 ))` .

f

Bereken de coördinaten van `H` .

Opgave 3

Gegeven zijn de punten `P(8, text(-)1, 0)` en `Q(4, text(-)3, 6)` .
Geef een vectorvoorstelling van de verzameling van alle punten die gelijke afstand tot `P` en `Q` hebben.

Opgave 4

De zeshoekige piramide `T.ABCDEF` wordt gegeven door `A(5, 1, 0)` , `B(5, 3, 0)` , `C(3, 5, 0)` , `D(1, 5, 0)` , `E(1, 3, 0)` , `F(3, 1, 0)` en `T(3, 3, 4)` .

a

Stel van de lijnen `AT` en `CT` een vectorvoorstelling op.

b

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder `AT` en `CT` elkaar snijden.

c

Bereken het snijpunt van de lijnen `CE` en `AF` .

d

Bereken in twee decimalen de afstand van punt `A` tot lijn `DT` .

Opgave 5

In dit rechte driezijdige prisma `ABC.DEF` geldt: `AC=AB=5` en `AD=BC=6` . Punt `P` is het midden van `CF` en punt `Q` is het midden van `AD` .

a

Teken het prisma in een cartesisch coördinatenstelsel `Oxyz` zo, dat `O` het midden van `BC` is, punt `A` op de `x` -as ligt en `B` en `C` op de `y` -as liggen. Teken ook de punten `P` en `Q` . (De eenheden op de assen passen bij de gegeven lengtes.)

b

Toon aan dat de lijnen `BF` en `DP` elkaar loodrecht kruisen.

c

Bepaal de coördinaten van het punt `K` op lijn `AP` zo, dat `|KF|=|KB|` .

d

Toon aan dat driehoek `BDK` een gelijkbenige driehoek is.

e

Bereken de coördinaten van punt `L` op `BF` zo, dat de inhoud van piramide `L.ABC` gelijk is aan 10.

Opgave 6

Een afgeknotte balk `ABCD.EFG` is in een cartesisch `Oxyz` -assenstelsel gegeven door `A(6 , 0 , 0 )` , `B(0 , 0 , text(-)6 )` , `C(text(-)6 , 0 , 0 )` , `D(0 , 0 , 6 )` , `E(0 , 6 , text(-)6 )` , `F(text(-)6 , 6 , 0 )` en `G(0 , 6 , 6 )` .

a

Teken deze afgeknotte balk.

Punt `M` is het midden van `AG` en punt `N` is het midden van `AE` .

b

Bereken de hoek die de lijnen `MN` en `MF` met elkaar maken.

Een lijn door `C` snijdt de lijn `AF` en de lijn `GN` . Het snijpunt met `GN` is punt  `P` .

c

Bereken de lengte van `CP` .

Het vlak door de punten `C` , `M` en `N` snijdt ribbe `DG` in `Q` en ribbe `BE` in `R` .

d

Bereken de coördinaten van `Q` en `R` .

Opgave 7

Kubus `OABC.DEFG` is in een cartesisch `Oxyz` -assenstelsel gegeven door de punten `A(6 , text(-)8 , 0 )` , `C(8 , 6 , 0 )` en `D(0 , 0 , 10 )` . `P` is het punt `(0 , 0 , 15 )` .

a

Teken de kubus.

b

Bereken de coördinaten van de punten op lijn `AG` die een afstand van `sqrt(8)` hebben tot het diagonaalvlak `OBFD` .

`M` is het midden van `AE` en `N` dat van `CG` . Het vlak `V` gaat door `P` , `M` en `N` .

c

Bereken de coördinaten van de snijpunten van dit vlak met de ribben van de kubus.
Teken nu het deel van dit vlak dat binnen de kubus ligt.

d

Bereken in graden nauwkeurig de hoek die dit vlak maakt met het grondvlak `OABC` van de kubus.

e

Het vlak met vergelijking `x=p` , met `0 ≤p≤6` , snijdt de kubus volgens een rechthoek met een oppervlakte van `10` . Bereken `p` .

verder | terug