`vec(n_(ABT))=((0), (text(-)1), (1))` en `vec(n_(ACT))=((1), (0), (0))` .
Het inproduct van beide normaalvectoren is `0` , dus staan de vlakken loodrecht op elkaar.
`vec(BT)=((text(-)4), (3), (3))`
en
`vec(AC)=((0), (1), (0))`
.
Een vector die loodrecht staat op beide bovenstaande vectoren is
`vec(n)=((3), (0), (4))`
Dus vlak
`W`
door
`BT`
en evenwijdig met
`AC`
is
`W: 3x+4z=12`
.
Maak lijn door bijvoorbeeld punt
`C`
loodrecht op vlak
`W: ((x), (y), (z))=((0), (3), (0))+t((3), (0), (4))`
.
Deze lijn snijden met vlak
`W`
geeft:
`25t=12`
en
`t=12/25`
.
`text(d)(BT, AC)=sqrt((36/25)^2+0^2+(48/25)^2)=2,4`
.
`BCT: 3x+2y+2z=6`
, dus
`vec(n_(BACT))=((3), (2), (2))`
.
`vec(AB)=((1), (0), (0))`
.
Inproduct van
`vec(n)`
en
`vec(AB)`
:
`3=sqrt(17)*1*cos(varphi)`
geeft
`varphi~~43^@`
.
Dus
`/_(AB,BCT)=90^@-43^@~~47^@`
.
GeoGebra:
`E(text(-)3 , 9 , 0 )` op `CB: ((x),(y),(z))=((text(-)3),(0),(0))+p((0),(1),(0))` klopt voor `p=9` .
`EF: ((x),(y),(z))=((1),(text(-)1),(4))+t((2),(text(-)5),(2))`
en
`TAB:2y+z=6`
(vul de coördinaten van
`T`
,
`A`
en
`B`
in de algemene vergelijking van een vlak).
Om het snijpunt te vinden substitueer je lijn
`EF`
in vlak
`V`
, dit geeft:
`2(text(-)1-5t)+4+2t=6`
en
`t=text(-)1/2`
.
Deze waarde invullen bij `EF` geeft snijpunt `(0 ; 1,5 ; 3 )` .
`P(1, text(-)1, 0)`
is het punt vlak
`ABCD`
dat recht onder punt
`F`
ligt.
Gevraagd wordt de lengte van lijnstuk
`BP`
, ofwel van
`vec(BP)=((4), (text(-)4), (0))`
.
`|vec(BP)|=sqrt(4^2+9text(-)4)^2+0^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)`
.
Eerst vergelijking van vlak
`V`
opstellen.
Zoek een normaalvector van
`V`
, met het uitproduct van
`vec(FA)=((2), (4), text(-)4))`
en
`vec(BD)=((1), (text(-)1), (0))`
. Neem
`vec(n_V)=((2), (2), (3))`
.
Dus
`V: 2x+2y+3z=12`
.
Dit vlak snijden met
`BT: ((x), (y), (z))=((0), (0), (6))+p((1), (text(-)1), (2))`
.
Door substitutie van
`BT`
in
`V`
vind je:
`2p-2p+3(6+2p)=12`
en
`p=text(-)1`
.
Deze waarde invullen bij
`BT`
geeft
`G(text(-)1 , 1 , 4 )`
.
Punt
`H`
is te schrijven als
`(3, h, 0)`
.
Inproduct van
`vec(CT)=((3),(3),(6))`
en
`vec(OH)=((3),(h),(0))`
:
`9 +3 h=sqrt(54)*sqrt((9 +h^2))*2/ (sqrt(15))` geeft `h=1` .
Dus `H(3 , 1 , 0 )` .
Deze verzameling is een vlak
`V`
dat loodrecht staat op de vector
`vec(PQ)`
en door het midden gaat van het lijnstuk
`PQ`
(het zogenaamde middelloodvlak van
`PQ`
).
`vec(PQ)=((text(-)4), (text(-)2), (6))`
De twee richtingsvectoren van
`V`
moeten hier loodrecht op staan, neem bijvoorbeeld
`((1), (1), (1))`
en
`((1), (text(-)2), (0))`
.
Het midden van lijnstuk
`PQ`
is het punt
`M(6, text(-)2, 3)`
.
Dus vlak
`V: ((x), (y), (z))=((6), (text(-)2), (3))+p((1), (1), (1))+q((1), (text(-)2), (0))`
.
`AT: ((x),(y),(z))=((5),(1),(0))+p((-1),(1),(2))` en `CT: ((x),(y),(z))=((3),(5),(0))+q((0),(-1),(2))` .
Het inproduct van beide richtingsvectoren `3=sqrt(6)*sqrt(5)*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(AT,CT)~~57^@` .
`CE: ((x), (y), (z))=((3), (5), (0))+u((1), (1), (0))`
en
`AF: ((x), (y), (z))=((5), (1), (0))+v((1), (0), (0))`
.
Aan elkaar gelijkstellen levert snijpunt
`(text(-)1, 1, 0)`
.
`DT: ((x), (y), (z))=((1), (5), (0))+w((1), (text(-)1), (2))`
Punt
`P`
van
`DT`
is te schrijven als
`P(1+w, 5-w, 2w)`
.
`vec(AP)=((w-4), (4-w), (2w))`
moet loodrecht staan op richtingsvector van
`DT`
.
Hun inproduct moet
`0`
zijn, dus:
`w-4+w-4+4w=0`
en
`w=4/3`
.
Dus
`vec(AP)=((text(-)8/3), (8/3), (8/3))`
en
`text(d)(A, DT)=|vec(AP)|=sqrt((text(-)8/3)^2+(8/3)^2+(8/3)^2)=8/3sqrt(3)~~4,62`
Doen, gebruik eventueel GeoGebra.
De punten
`B`
,
`F`
en
`P`
liggen in één vlak en niet op één lijn. Punt
`D`
ligt niet in dat vlak, dus snijdt de lijn
`BF`
de lijn
`DP`
niet.
Verder is
`vec(BF)=((0), (text(-)1), (1))`
en
`vec(DP)=((4), (3), (3))`
.
Hun inproduct is
`0`
, dus staan ze loodrecht op elkaar.
`AP=((x),(y),(z))=((4), (0), (0))+t((text(-)4), (text(-)3), (3))`
, dus het punt
`K`
van
`AP`
is te schrijven als
`K(4-4t, text(-)3t, 3t)`
.
Uit
`|vec(KF)|=|vec(KB)|`
volgt:
`sqrt((4t-4)^2+(3-3t)^2+(3t-6)^2)=`
`sqrt((4t-4)^2+(3+3t)^2+(text(-)3t)^2)`
.
Uitschrijven geeft
`72t=36`
, ofwel
`t=0,5`
, dit geeft
`K=(2;text(-)1,5;1,5)`
.
`vec(KD)=((2), ({:1,5:}), ({:4,5:}))`
en
`vec(KB)=((2), ({:text(-)4,5:}), ({:1,5:}))`
.
`|vec(KD)|=sqrt(2^2+(1,5)^2+(4,5)^2)=sqrt(25,5)`
en
`|vec(KB)|=sqrt(2^2+(text(-)4,5)^2+(1,5)^2)=sqrt(25,5)`
.
Omdat
`|vec(KD)|=|vec(KB)|`
is driehoek
`BDK`
gelijkbenig.
`BF: ((x), (y), (z))=((0), (3), (0))+s((0), (text(-)1), (1))`
. Dus punt
`L`
is te schrijven als
`L(0, 3-s, s)`
.
Vlak
`ABC`
heeft een oppervlakte van 12 (neem
`|BC|=6`
als basis en de hoogte
`|OA|=4`
).
De inhoud van
`L.ABC`
is
`I(L.ABC)=1/3*12*s=4s`
.
Deze moet
`10`
zijn, dus
`s=2,5`
Dit geeft punt
`L(0; 0,5; 2,5)`
.
Gebruik eventueel GeoGebra.
`M(3, 3, 3)`
en
`N(3, 3, text(-)3)`
.
`vec(MN)=((0),(0),(1))`
en
`vec(MF)=((text(-)3),(1),(text(-)1))`
.
Hun inproduct is:
`text(-)1=1*sqrt(11)*cos(varphi)`
.
Dus
`cos(varphi)=|text(-)1|/sqrt(11)`
, ofwel
`varphi=/_(MN,MF)~~72^@`
.
Vlak
`CMN: ((x), (y), (z))=((text(-)6), (0), (0))+u((3), (1), (1))+v((3), (1), (text(-)1))`
.
Normaalvector van
`V`
is
`((1), (text(-)3), (0))`
, dus vergelijking vlak
`CMN: x-3y=text(-)6`
.
Snijden met
`DG`
(er geldt:
`x=0`
en
`z=6`
) geeft
`Q(0 , 2 , 6 )`
en
snijden met
`BE`
(er geldt:
`x=0`
en
`z=text(-)6`
) geeft
`R(0 , 2 , text(-)6 )`
.
`B(14 , text(-)2 , 0 ), E(6 , text(-)8 , 10 ), F(14 , text(-)2 , 10 )` en `G(8 , 6 , 10 )` zijn de andere hoekpunten.
`AG: ((x),(y),(z))=((6),(text(-)8),(0))+t((2),(14),(10))`
en
`OBFD: x+7y=0`
(verticaal vlak door
`O`
).
Lijn
`l`
opstellen door
`P(6 +2 t, text(-)8 +14t, 10t)`
op
`AG`
en loodrecht op
`OBFD`
.
`l: ((x), (y), (z))=((6+2t), (text(-)8+14t), (10t))+q((1), (7), (0))`
Dit invullen in vlak
`OBFD`
(voor snijpunt) geeft:
`6+2t+q+7(text(-)8+14t+7q)=0`
en
`q=1-2t`
.
Deze waarde invullen in lijn
`l`
, geeft snijpunt
`S(7, text(-)1, 10t)`
.
Afstand
`PS`
moet
`sqrt(8)`
zijn, dus
`|PS|= sqrt((2t-1)^2+(14t-7)^2+0^2)=sqrt(8)`
.
Uitschrijven geeft:
`200t^2-200t+42=0`
en dus
`t=0,3 ∨ t=0,7`
.
Deze waarden invullen in
`P`
geeft gevraagde punten
`(6,6; text(-)3,8; 3)`
en
`(7,4; 1,8; 7)`
.
Vlak
`V`
door
`P(0, 0, 15), M(6, text(-)8, 5)`
en
`N(8, 6, 5)`
opstellen.
`vec(PM)=((6), (text(-)8), (text(-)10))`
en
`vec(P)=((8), (6), (text(-)10))`
.
Normaalvector
`vec(n)=((7), (text(-)1), (5))`
.
Dus vlak
`V: 7x-y+5z=75`
(
`75`
vind je door een punt in te vullen).
`V`
snijden met
`DE`
geeft snijpunt
`(3 , text(-)4 , 10 )`
.
`V`
snijden met
`AB`
geeft snijpunt
`(10 , text(-)5 ,0 )`
.
`V`
snijden met
`BC`
geeft snijpunt
`(11 , 2 , 0 )`
.
`V`
snijden met
`AB`
geeft snijpunt
`(4 , 3 , 10 )`
.
`V: 7x-y+5z=75`
en grondvlak
`OABC: z=0`
.
De twee normaalvectoren zijn
`vec(n_V)=((7), (text(-)1), (5))`
en
`vec(n_(OABC))=((0), (0), (1))`
.
Inproduct: `5=sqrt(75)*1*cos(varphi)` geeft `varphi=/_(V,OABC)~~55^@` .
De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van
`10`
. Dus moet de breedte
`1`
zijn.
De lijn
`x=p`
snijdt ribbe
`OA: ((x), (y), (z))=r((3), (text(-)4), (0))`
in
`(p, text(-)4/3p, 0)`
en ribbe
`OC: ((x), (y), (z))=s((4), (3), (0))`
in
`(p, 3/4p, 0)`
.
De breedte van de rechthoek is het verschil van de
`y`
-coördinaten van de twee snijpunten, dus:
`3/4p+4/3p=1`
en
`p=12/25`
.
De hoek tussen twee van dergelijke vlakken is ongeveer `109,5^@` . Dit kan met vectorrekening, dan eerst een assenstelsel invoeren.
`60^@` en `90^@` .
`P` op `OT` , `Q` op `AT` en `R` op `CT` .
Doen, gebruik eventueel GeoGebra.
Van de vlakken `PQR` , `OAT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `K` . `K` is het snijpunt van `PQ` en `OA` (de `x` -as). Van de vlakken `PQR` , `OCT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `L` . `L` is het snijpunt van `PR` en `OC` (de `y` -as). `KL` is nu de snijlijn van `PQR` met het grondvlak `OABC` .
`PQR:12 x+8 y+7 z=96` en `OABC:z=0` . Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR` , `OABC` en de `x` -as: `K(8 , 0 , 0 )` . Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR` , `OABC` en de `y` -as: `L(0 , 12 , 0 )` .
Doen.
`E(3 , text(-)3 , 3 sqrt(3))` , `F(3 , 3 , 3 sqrt(3)),G(text(-)3 , 3 , 3 sqrt(3))` , `H(text(-)3 , text(-)3 , 3 sqrt(3))` en `T(0 , 0 , 3 sqrt(3)+3 sqrt(2))` .
De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer `5,3^@` .
`BF`
en
`GT`
hebben geen snijpunt.
Een vlak door
`BF`
en evenwijdig
`GT`
is
`(sqrt(3 )-sqrt(2 ))x+sqrt(3 )y+z=9 sqrt(3 )-3 sqrt(2 )`
.
Bereken de afstand van
`T`
tot dit vlak:
`text(d)(BF,GT)= ((6 sqrt(3 )-6 sqrt(2 ))) / (sqrt((8 -2 sqrt(6 ))))`
.
Inproduct van hun richtingsvectoren geeft ongeveer `71,4^@` .
`ECT: (sqrt(3 )+3 sqrt(2 ))x+(sqrt(3 )+4 sqrt(2 ))y+z=3 sqrt(3 )+15 sqrt(2 )` . Dit vlak snijdt `AB` en `HG` .
`B(6 , 6 , text(-)6 sqrt(2))`
,
`D(6 , 6 , 6 sqrt(2))`
.
De doorsnede wordt een vijfhoek
`KLMNP`
met (bijvoorbeeld)
`K(12 , 8 , 0 )`
,
`L(8 , 8 , text(-)4 sqrt(2))`
,
`M(4 , 8 , text(-)4 sqrt(2))`
,
`N(4 , 8 , 4 sqrt(2))`
en
`P(8 , 8 , 4 sqrt(2))`
.
`48 sqrt(2)`
`(4 , 8 , 2 2/3 sqrt(2))`
`6 sqrt(7)`
(bron: examen wiskunde B havo 1985, eerste tijdvak)