Vectoren in 3D > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

en .

Het inproduct van bedie normaalvectoren is , dus staan de vlakken loodrecht op elkaar.

b

en .
Een vector die loodrecht staat op beide bovenstaande vectoren is
Dus vlak door en evenwijdig met is .
Maak lijn door bijvoorbeeld punt loodrecht op vlak .
Deze lijn snijden met vlak geeft: en .
.

c

, dus .
.

Inproduct van en : geeft .
Dus .

Opgave 2
a

GeoGebra:

b

op klopt voor .

c

en (vul de coördinaten van , en in de algemene vergelijking van een vlak).
Om het snijpunt te vinden substitueer je lijn in vlak , dit geeft: en .

Deze waarde invullen bij geeft snijpunt .

d

is het punt vlak dat recht onder punt ligt.
Gevraagd wordt de lengte van lijnstuk , ofwel van .
.

e
f

Punt is te schrijven als .
Inproduct van en :

geeft .

Dus .

Opgave 3

Deze verzameling is een vlak dat loodrecht staat op de vector en door het midden gaat van het lijnstuk (het zogenaamde middelloodvlak van ).

De twee richtingsvectoren van moeten hier loodrecht op staan, neem bijvoorbeeld en .
Het midden van lijnstuk is het punt .
Dus vlak .

Opgave 4
a

en .

b

Het inproduct van beide richtingsvectoren geeft .

c

en
.
Aan elkaar gelijkstellen levert snijpunt .

d


Punt van is te schrijven als .
moet loodrecht staan op richtingsvector van .
Hun inproduct moet zijn, dus: en .
Dus en

Opgave 5
a

Doen, gebruik eventueel GeoGebra.

b

De punten , en liggen in één vlak en niet op één lijn. Punt ligt niet in dat vlak, dus snijdt de lijn de lijn niet.
Verder is en
Hun inproduct is , dus staan ze loodrecht op elkaar.

c

, dus het punt van is te schrijven als .
Uit volgt: .
Uitschrijven geeft , ofwel , dit geeft .

d

en .
en
Omdat is driehoek gelijkbenig.

e

. Dus punt is te schrijven als .
Vlak heeft een oppervlakte van 12 (neem als basis en de hoogte ).
De inhoud van is .
Deze moet zijn, dus
Dit geeft punt .

Opgave 6
a

Gebruik eventueel GeoGebra.

b

en .
en .
Hun inproduct is: .
Dus , ofwel .

c
d

Vlak .
Normaalvector van is , dus vergelijking vlak .
Snijden met (er geldt: en ) geeft en
snijden met (er geldt: en ) geeft .

Opgave 7
a

en zijn de andere hoekpunten.

b

en (verticaal vlak door ).
Lijn opstellen door op en loodrecht op .

Dit invullen in vlak (voor snijpunt) geeft: en .

Deze waarde invullen in lijn , geeft snijpunt .
Afstand moet zijn, dus .
Uitschrijven geeft: en dus .
Deze waarden invullen in geeft gevraagde punten en .

c

Vlak door en opstellen.
en .
Normaalvector .
Dus vlak ( vind je door een punt in te vullen).

snijden met geeft snijpunt .
snijden met geeft snijpunt .
snijden met geeft snijpunt .
snijden met geeft snijpunt .

d

en grondvlak .
De twee normaalvectoren zijn en .

Inproduct: geeft .

e

De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van . Dus moet de breedte zijn.
De lijn snijdt ribbe in en ribbe in .
De breedte van de rechthoek is het verschil van de -coördinaten van de twee snijpunten, dus: en .

Opgave 8Octaëder
Octaëder
a

De hoek tussen twee van dergelijke vlakken is ongeveer . Dit kan met vectorrekening, dan eerst een assenstelsel invoeren.

b

en .

Opgave 9Drievlakkenstelling
Drievlakkenstelling
a

op , op en op .

b

Doen, gebruik eventueel GeoGebra.

c

Van de vlakken , en gaan de snijlijnen door één punt . is het snijpunt van en (de -as). Van de vlakken , en gaan de snijlijnen door één punt . is het snijpunt van en (de -as). is nu de snijlijn van met het grondvlak .

d

en . Snijlijn gaat door het snijpunt van , en de -as: . Snijlijn gaat door het snijpunt van , en de -as: .

e

Doen.

Opgave 10Spelen met Polydron
Spelen met Polydron
a

, , en .

b

De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer .

c

en hebben geen snijpunt.
Een vlak door en evenwijdig is .
Bereken de afstand van tot dit vlak: .

d

Inproduct van hun richtingsvectoren geeft ongeveer .

e

. Dit vlak snijdt en .

Opgave 11Vlak in piramide
Vlak in piramide
a

, .
De doorsnede wordt een vijfhoek met (bijvoorbeeld) , , , en .

b

c

d

(bron: examen wiskunde B havo 1985, eerste tijdvak)

verder | terug