Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld

1234567Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 7Regeloppervlakken

Regeloppervlakken

Oppervlakken die kunnen ontstaan door een rechte lijn in de ruimte te bewegen heten wel regeloppervlakken. Een regeloppervlak is een oppervlak, waarbij door elk punt van het oppervlak minstens één rechte - een beschrijvende of regel - gaat, die volledig tot het oppervlak behoort.

Voorbeelden zijn een cilinder, een kegel, een elliptische cilinder, de helicoïde die je hiernaast ziet (de parametervoorstelling ervan is `x = v cos(au)` , `y = v sin(au)` en `z = u` ) en de éénbladige hyperboloïde met vergelijking `(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) − (z^2)/(c^2) =1` , etc.

Een oppervlak $E$ heeft parametervoorstelling $(x, y, z) = (2 + 4 cos (u), 4 + 2 cos (u), v)$ .

Om welke type regeloppervlak gaat het hier? Beschrijf het zo nauwkeurig mogelijk.

Teken de doorsneden van het oppervlak $E$ met de coördinaatvlakken.

Geef een vergelijking van dit oppervlak.

Bekijk nu de vergelijking van de éénbladige hyperboloïde. Neem $a = 1$ , $b = 4$ en $c = 9$ .

Teken de doorsneden van dit oppervlak met de coördinaatvlakken.

Waarom zou je dit ook een omwentelingsoppervlak kunnen noemen?

Welke rechte lijnen liggen er op dit oppervlak? Beschrijf hoe je het kan ontstaan uit een cilinder.

Bekijk tenslotte de helicoïde.

Wat heeft deze figuur met een wenteltrap te maken?

Welke rechte lijnen liggen er op?

Laat zien dat er ook schroeflijnen op dit oppervlak liggen.

Opgave 8Omwentelingsoppervlakken

Omwentelingsoppervlakken

Door een kegelsnede te wentelen om een as ontstaan omwentelingsoppervlakken zoals de ellipsoïde, de paraboloïde en de hyperboloïde. Maar je kunt ook andere krommen om een as wentelen.

Een voorbeeld van een paraboloïde is het oppervlak met vergelijking `x^2 + z^2 = y` . Dit oppervlak ontstaat door de parabool met vergelijking `y = x^2` om de `y` -as te wentelen.
Een voorbeeld van een éénbladige hyperboloïde is het oppervlak met vergelijking `(x^2)/1 − (y^2)/4 + (z^2)/9 = 1` .

Hoe zien de doorsneden van de paraboloïde met de vlakken $y = p$ (met $p > 0$ ) er uit?

Hoe zien de doorsneden van de paraboloïde met de vlakken $z = p$ er uit?

Geef een definitie van deze paraboloïde in termen van een brandpunt en een richtvlak.

Licht toe hoe de éénbladige hyperboloïde ontstaat.

Opgave 9Torus en apenzadel

Torus en apenzadel

De torus is een buisachtig oppervlak, zeg maar de binnenband van een fietsband. Je ziet er hiernaast een voorbeeld van. Het oppervlak met vergelijking

`(sqrt(x^2 + y^2) – 4)^2 + z^2 = 1`

is een voorbeeld van een torus.

Teken de doorsneden van de torus met elk van de coördinaatvlakken.

Welke waarden kan $z$ aannemen? En $x$ en $y$ ?

Geef vergelijkingen van de doorsneden van de torus met de vlakken $x = 1$ , $x = 2$ en $x = \sqrt{5}$ en schets deze doorsneden.

Een apenzadel is een oppervlak dat geschikt is als... apenzadel. Dat zegt veel over de vorm ervan, toch? Een voorbeeld van een apenzadel is een oppervlak met de vergelijking `z = x^3 – 3xy^2` . Zijn we eindelijk van al die kwadraten af...

Waarom heet dit oppervlak zo, denk je?

Teken de doorsneden van dit oppervlak met elk van de coördinaatvlakken.

Welke punt is het "zadelpunt"?

Je hebt ontdekt dat er op dit oppervlak rechte lijnen voorkomen. Eén daarvan is de doorsnede van het oppervlak met het vlak $x = 0$ . Welke andere twee kun je uit de symmetrie van de figuur afleiden?

verder | terug