Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld

1234567Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Hieronder zie een aantal vergelijkingen of parametervoorstellingen van krommen en/of oppervlakken. Bepaal telkens om welke kromme en welk oppervlak het gaat en geef de karakteristieken ervan, zoals brandpunt(en), richtlijn(-cirkel), middelpunt, straal, top, symmetrieas, e.d.

$x^{2} + 4 y^{2} = 6 x - 8 y$

$(x, y) = (2 t, \frac{1}{4} t^{2} + 4)$

$x^{2} - 6 x = y^{2} - z^{2} + 4 z - 5$

$(x, y, z) = (2 + 2 v, 3 + 4 cos (u), -5 + 4 sin (u))$

Opgave 2

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig $O x y$ -assenstelsel de cirkel $c$ met middelpunt $O (0, 0)$ en straal `5` . Verder zijn gegeven de punten $A (4, 0)$ en $B (7, 0)$ .
De kromme $k$ bestaat uit alle punten met gelijke afstand tot punt $A$ als tot cirkel $c$ .

Geef een vergelijking van $k$ . Hoe heet zo'n kromme?

Stel ook een parametervoorstelling voor $k$ op.

Bereken de coördinaten van de punten op $k$ waarin de raaklijn aan $k$ evenwijdig is met de lijn $y = x$ .

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen door punt $B$ aan kromme $k$ .

Opgave 3

Gegeven zijn ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y$ de cirkel $c : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ en de parabool $p : y^{2} = -0,5 x + 1,5$ .

Toon aan dat de top van de parabool en het middelpunt van de cirkel hetzelfde punt zijn.

Bereken de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn van $p$ .

Bereken de hoek waaronder beide krommen elkaar snijden.

Bereken de lengte van de kleinste cirkelboog die de parabool uit de cirkel wegsnijdt.

Opgave 4De conchoïde van Nicomedes

De conchoïde van Nicomedes

Een voorbeeld van een conchoïde is de kromme $k$ die bestaat uit alle punten $(x, y)$ die voldoen aan de vergelijking $(x^{2} + y^{2}) {(x - 2)}^{2} = 16 x^{2}$ .

Welke waarden kunnen $x$ en $y$ aannemen?

Bereken de coördinaten van snijpunten van $k$ met de assen.

Bereken de coördinaten van de punten van $k$ waarin de raaklijn evenwijdig is met de $y$ -as.

Bereken de hoek waaronder beide raaklijnen aan $k$ in $O (0, 0)$ elkaar snijden.

Opgave 5

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y z$ is de bol $B$ gegeven door de parametervoorstelling

$(x, y, z) = (4 + 5 cos (u) cos (v), 3 + 5 sin (u) cos (v), 5 sin (v))$

waarin $0 \leq u < 2 π$ en $- \frac{1}{2} π \leq v \leq \frac{1}{2} π$ .

Bepaal de coördinaten van het middelpunt $M$ en de lengte $r$ van de straal van bol $B$ .

Geef een vergelijking van $B$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van bol $B$ met de coördinaatassen.

Het vlak $V : z = 2,5$ snijdt de bol volgens een cirkel $c$ . Bereken de straal van $c$ .

Kegel $K$ heeft $M$ als top en snijdt de bol volgens cirkel $c$ . Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van deze kegel op.

Bereken de hoek waaronder de bol en de kegel elkaar snijden in graden nauwkeurig.

Rechte lijn $l$ door $P (4, 6, 4)$ maakt een hoek van 60° met de bol en is evenwijdig met de vlak $x = y$ . Stel een parametervoorstelling op van $l$ .

Opgave 6

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel $O x y z$ een kegel met top $T$ op de $z$ -as en een grondcirkel die in het $O x y$ -vlak de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 36$ heeft. De tophoek van de kegel is `90` °.
Op de $y$ -as ligt punt $P (0, 12, 0)$ en op de $x$ -as ligt het punt $A (6, 0, 0)$ .
Het punt $Q$ ligt op $A T$ zo, dat de afstand van $Q$ tot $O T$ gelijk is aan `3` .

Teken deze kegel en punt $P$ is het assenstelsel.

Bepaal de coördinaten van punt $Q$ .

Bereken de afstand van lijn $P Q$ tot lijn $O T$ .

Lijn $P Q$ snijdt de kegel behalve in punt $Q$ ook in punt $R$ . Teken dit punt in je figuur en bereken de coördinaten van $R$ .

Bereken de hoek waaronder $P Q$ de kegel snijdt in graden nauwkeurig.

verder | terug