Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen
123456Parametervoorstellingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Alle punten `P` moeten gelijke afstand hebben tot `F` als tot de lijn `l` .

b

Kies eerst een geschikt assenstelsel.

De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is `(x-a)^2 = 2p(y-b)` waarin `p` de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en `T(a, b)` de top van de parabool is.

Neem als top `(0, 0)` en de `x` door top en brandpunt `F` .

De halve brandpuntafstand is dan `p=2` .
Dus hierbij hoort de vergelijking `y^2=4x` .

c

Nu moet je nog werken met de discriminantmethode. In de Uitleg zie je hoe dit sneller kan.

Opgave 1
a

De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is `(x-a)^2 = 2p(y-b)` waarin `p` de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en `T(a, b)` de top van de parabool is.
Hier is dus `T(0, 0)` en `p=4` , zodat `F(2, 0)` en `r=text(-)2` .

b

De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is `(x-a)^2 = 2p(y-b)` waarin `p` de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en `T(a, b)` de top van de parabool is. Omdat in dit geval de parabool met de top naar boven ligt, is `p` negatief.
De vergelijking is dus `x^2 = text(-)6y` .
Kies nu `x = 6t` dan is `y = text(-)6t^2` en hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling.

c

Met de vergelijking: `x^2 = text(-)6 * text(-)2 = 12` geeft `x = +-sqrt(12)` .
Je vindt dus de punten `(2sqrt(3), text(-)2)` en `(text(-)2sqrt(3), text(-)2)` .

Met de parametervoorstelling: `text(-)6t^2 = text(-)2` geeft `t = +- sqrt(1/3) = +- 1/3 sqrt(3)` .
En dit betekent `x = 6 * 1/3 sqrt(3) vv x = 6 * text(-)1/3 sqrt(3)` .
Ga na dat je zo dezelfde punten vindt.

d

Voor het vinden van hellingswaarden en het opstellen van raaklijnen.

Opgave 2
a

Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake.

b

y = 4 t en x = 2 t 2 invullen in y 2 = 8 x geeft 16 t 2 = 8 2 t 2 en dit klopt voor elke waarde van t .

c

Als Δ x 0 dan gaan P en Q samenvallen. Dus dan benadert de t -waarde van Q die van P (bij een nette aaneengesloten kromme).

d

d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) = 4 4 t = 1 t .
In P ( 2 , 4 ) is t = 1 en dus d y d x = 1 1 = 1 zodat de vergelijking van de raaklijn y = x + 2 wordt.

e

Q ( 8 , 8 ) is t = 2 voldoet aan y 2 = 8 x en ligt dus op de parabool.
In Q ( 8 , 8 ) is t = 2 en dus d y d x = 1 2 = 0,5 zodat de vergelijking van de raaklijn y = 0,5 x + 4 wordt.

f

In dat punt geldt `t = 3` . De snelheid is dan `v = sqrt((x'(3))^2 + (y'(3))^2) = sqrt(12^2 + 4^2) = sqrt(160)` .

Opgave 3
a

y 2 = 2 p ( x a )

b

( y b ) 2 = 2 p x

c

p = 1 dus ( y 6 ) 2 = 2 x

d

y 6 = t dus y = t + 6 geeft t 2 = 2 x en dus x = 1 2 t 2 .
Parametervoorstelling: x = 1 2 t 2 en y = t + 6 .

Opgave 4

( x a ) 2 = 2 p ( y b ) met ( a , b ) = ( 2 , 3 ) en p = 4 .
Dit geeft ( x 2 ) 2 = 8 ( y 3 ) .
Kies x 2 = t dus x = t + 2 en je krijgt t 2 = 8 ( y 3 ) en dus y = 1 8 t 2 + 3 .
Parametervoorstelling: x = t + 2 en y = 1 8 t 2 + 3 .

Opgave 5
a

y 2 = 6 x + 6 en x = 5 geeft y 2 = 36 en dus y = ± 6 .
Dit geeft A ( 5 , 6 ) en B ( 5 , - 6 ) .

b

y = t geeft y 2 = 6 x + 6 en dus y = 1 6 t 2 1 .

c

d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) = 1 1 3 t = 3 t
In A ( 5 , 6 ) is t = 6 en dus is het hellingsgetal daar 3 6 = 0,5 .
In B ( 5 , - 6 ) is t = - 6 en dus is het hellingsgetal daar - 3 6 = - 0,5 .

d

Raaklijn in A is y = 0,5 x + 3,5 .
Raaklijn in B is y = - 0,5 x 3,5 .

e

P ( 0,5 ; 3 ) en een richtingscoëfficiënt van a geeft raaklijn y = a x + 3 0,5 a .

f

( a x + 3 0,5 a ) 2 = 6 x + 6 geeft a 2 x 2 + ( - 6 + 6 a a 2 ) x + 3 3 a + 0,25 a 2 = 0 .
D = 0 geeft a = 1 .

g

Raaklijn y = x + 2,5 .

Opgave 6
a

y 2 2 y = 4 x geeft ( y 1 ) 2 = 4 ( x + 0,25 ) .

b

p = 2 dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is `2` .
De as van de parabool is evenwijdig aan de x -as.
Richtlijn x = - 1,25 , brandpunt F ( 0,75 ; 1 ) .

c

Kies y = 2 t dan is 4 t 2 4 t = 4 x en dus x = t 2 t .
(Je kunt ook y = t + 1 of y = t kiezen.)

d

x = 0 geeft y = 0 y = 2 .
In ( 0 , 0 ) : y = a x geeft a 2 x 2 2 a x = 4 x en dus a 2 x 2 + ( - 2 a 4 ) x = 0 . Met D = 0 vind je a = - 2 . De raaklijn is y = - 2 x .
In ( 0 , 2 ) : y = a x + 2 invullen en met D = 0 vind je a = 2 en dus als raaklijn y = 2 x + 2 .
(Je kunt ook werken met d y d x = 2 2 t 1 .)

Opgave 7
a

x = 2 t + 4 geeft t = 1 2 x 2 en y = 4 ( 1 2 x 2 ) 2 + 3 .
Dit is te herleiden tot y 3 = ( x 2 ) 2 .

b

2 p = 1 geeft p = 1 2 .
Uit de vergelijking bij a lees je af b = 3 .

c

Omdat p > 0 .

d

Top ( 4 , 3 ) , brandpunt F ( 4 ; 3,25 ) en richtlijn r : y = 2,75 .

Opgave 8
a

Top ( - 1 , 0 ) en p = - 6 met as evenwijdig aan de x geeft y 2 = - 12 ( x + 1 ) .

b

Top ( 0 , 2 ) en p = 4 met as evenwijdig aan de y -as geeft x 2 = 8 ( y 2 ) .

c

Top ( 4 , 2 ) en p = - 8 met as evenwijdig aan de x -as geeft ( y 2 ) 2 = - 16 ( x 4 ) .

d

Nu is p onbekend en negatief. De top is ( 3 0,5 p ; 0 ) en de vergelijking is y 2 = 2 p ( x ( 3 0,5 p ) ) .
( 0 , 4 ) invullen geeft 16 = - 2 p ( 3 0,5 p ) en hieruit volgt p = - 2 p = 8 .
Als p = - 2 wordt de vergelijking y 2 = - 4 ( x 4 ) .
p = 8 wordt de vergelijking y 2 = 16 ( x + 1 ) .

Opgave 9
a

y = 2 t + 2 geeft t = 0,5 y 1 en dus x = ( 0,5 y 1 ) 2 4 en dit kun je schrijven als ( y 2 ) 2 = 4 ( x + 4 ) .
Hieruit lees je af dat de top ( - 4 , 2 ) is en dat p = 2 .
En dat levert op: brandpunt F ( - 3 , 2 ) en richtlijn x = - 5 .

b

l door A ( 0 , 2 ) en B ( 3 , 0 ) geeft als vergelijking y = - 2 3 x + 2 .
Invullen in de vergelijking van de parabool en je vindt de snijpunten C ( 12 , - 6 ) en D ( - 3 , 4 ) .

c

d y d x = 1 t .
In C is t = - 4 en de richtingsvector van de raaklijn dus r 1 = ( 1 - 0,25 ) .
De richtingsvector van l is ( 3 - 2 ) en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je φ 1 20 .
In D is t = 1 en de richtingsvector van de raaklijn dus r 2 = ( 1 1 ) .
De richtingsvector van l is ( 3 - 2 ) en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je φ 2 79 .

d

y = ± 4 x + 16 + 2 .
De gevraagde oppervlakte is - 4 - 3 ( 4 x + 16 + 2 ( - 4 x + 16 + 2 ) ) d x + - 3 12 ( - 2 3 x + 2 ( - 4 x + 16 + 2 ) ) d x .
Primitiveren geeft [ ( 2 x + 8 ) 4 x + 16 ] - 4 - 3 + [ - 1 3 x 2 + ( x + 4 ) 4 x + 16 ] - 3 12 .

Opgave 10
a

Doen.

b

( y 2 ) 2 = - x + 4 invullen in cirkelvergelijking geeft ( x 2 ) 2 x + 4 = 13 en de daaruit volgt x = 5 x = - 1 .
x = 5 levert geen y -waarden op, x = - 1 levert `y = 0 vv y = 4` op.
Snijpunten `(text(-)1, 0)` en `(text(-)1, 4)` .

c

p snijdt de assen in ( - 1 , 0 ) en in `(0, 2 +- sqrt(3))` .
c snijdt de x -as in ( - 1 , 0 ) en ( 5 , 0 ) en de `y` -as in ( 0 , 5 ) .

d

Vanwege de symmetrie van de figuur hoef je de hoek maar in één snijpunt te berekenen. Verder geldt voor de parabool d y d x = - 1 - 2 t .
Neem A ( - 1 , 0 ) . Daar is t = - 2 en dus d y d x = 1 4 .
Een richtingsvector van de raaklijn aan p in A is `((4),(1))` .
Voor c geldt `vec(MA) = ((text(-)3),(text(-)2))` en een richtingsvector van de raaklijn aan c in A is daarom `((text(-)2),(3))` .
Met het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek tussen beide raaklijnen φ 70 .

Opgave 11

y = 3 x + b invullen in de vergelijking van p geeft 9 x 2 + ( - 18 + 6 b ) x + b 2 8 b + 10 = 0 .
Met behulp van D = 0 vind je b = 0,5 en x = 5 6 en y = 2 . Raakpunt ( 5 6 , 3 ) .

Opgave 12Scheve parabool
Scheve parabool
a

Doen, zie figuur in de opgave.

b

| O A | = x geeft | A C | = 4 x .
| A P | = y geeft | B C | = y want B C D is rechthoekig en gelijkbenig.
Dus | A B | = | P B | = 4 x y .
Omdat | P Q | = | Q D | is 2 | P Q | 2 = | P D | 2 = ( 4 x y ) 2 , dus | P D | = 0,5 ( 4 x y ) 2 .

c

| O P | = | P Q | geeft x 2 + y 2 = 0,5 ( 4 x y ) 2 ofwel 2 ( x 2 + y 2 ) = ( 4 x y ) 2 .

d

Haakjes wegwerken.

e

x y = 4 t en x + y = 2 2 t 2 geeft 2 x = - 2 t 2 + 4 t + 2 en dus x = - t 2 + 2 t + 1 .
Hiermee vind je y = 2 2 t 2 ( - t 2 + 2 t + 1 ) = - t 2 + 2 t + 1 .
Parametervoorstelling ( x , y ) = ( - t 2 + 2 t + 1 , - t 2 2 t + 1 ) .

f

d y d x = - 2 t 2 - 2 t + 2 .
Raaklijn evenwijdig aan x -as: - 2 t 2 = 0 geeft t = - 1 en dus ( - 2 , 2 ) .
Raaklijn evenwijdig aan y -as: - 2 t + 2 = 0 geeft t = 1 en dus ( 2 , - 2 ) .

Opgave 13
a

Top ( 4 , - 3 ) , brandpunt F ( 1,5 ; - 3 ) , richtlijn x = 6,5 .

b

De gevraagde hoek is ongeveer 53 .

c

( 3,375 ; - 0,5 ) .

Opgave 14
a

De vier snijpunten zijn ( 5 , - 2 ) , ( 5 , 6 ) , ( 11 , - 6 ) en ( 11 , 10 ) .

b

Neem bijvoorbeeld A ( 5 , 6 ) . De gevraagde hoek is 15 .

verder | terug