Alle punten `P` moeten gelijke afstand hebben tot `F` als tot de lijn `l` .
Kies eerst een geschikt assenstelsel.
De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is `(x-a)^2 = 2p(y-b)` waarin `p` de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en `T(a, b)` de top van de parabool is.
Neem als top `(0, 0)` en de `x` door top en brandpunt `F` .
De halve brandpuntafstand is dan
`p=2`
.
Dus hierbij hoort de vergelijking
`y^2=4x`
.
Nu moet je nog werken met de discriminantmethode. In de
De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is
`(x-a)^2 = 2p(y-b)`
waarin
`p`
de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en
`T(a, b)`
de top van de parabool is.
Hier is dus
`T(0, 0)`
en
`p=4`
, zodat
`F(2, 0)`
en
`r=text(-)2`
.
De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is
`(x-a)^2 = 2p(y-b)`
waarin
`p`
de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en
`T(a, b)`
de top van de parabool is. Omdat in dit geval de parabool met de top naar boven ligt,
is
`p`
negatief.
De vergelijking is dus
`x^2 = text(-)6y`
.
Kies nu
`x = 6t`
dan is
`y = text(-)6t^2`
en hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling.
Met de vergelijking:
`x^2 = text(-)6 * text(-)2 = 12`
geeft
`x = +-sqrt(12)`
.
Je vindt dus de punten
`(2sqrt(3), text(-)2)`
en
`(text(-)2sqrt(3), text(-)2)`
.
Met de parametervoorstelling:
`text(-)6t^2 = text(-)2`
geeft
`t = +- sqrt(1/3) = +- 1/3 sqrt(3)`
.
En dit betekent
`x = 6 * 1/3 sqrt(3) vv x = 6 * text(-)1/3 sqrt(3)`
.
Ga na dat je zo dezelfde punten vindt.
Voor het vinden van hellingswaarden en het opstellen van raaklijnen.
Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake.
en invullen in geeft en dit klopt voor elke waarde van .
Als dan gaan en samenvallen. Dus dan benadert de -waarde van die van (bij een nette aaneengesloten kromme).
.
In is en dus zodat de vergelijking van de raaklijn wordt.
is voldoet aan en ligt dus op de parabool.
In is en dus zodat de vergelijking van de raaklijn wordt.
In dat punt geldt `t = 3` . De snelheid is dan `v = sqrt((x'(3))^2 + (y'(3))^2) = sqrt(12^2 + 4^2) = sqrt(160)` .
dus
dus geeft en dus .
Parametervoorstelling: en .
met en .
Dit geeft .
Kies dus en je krijgt en dus .
Parametervoorstelling: en .
en geeft
en dus .
Dit geeft en .
geeft en dus .
In is en dus is het hellingsgetal daar .
In is en dus is het hellingsgetal daar .
Raaklijn in is .
Raaklijn in is
.
en een richtingscoëfficiënt van geeft raaklijn .
geeft .
geeft .
Raaklijn .
geeft .
dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is
`2`
.
De as van de parabool is evenwijdig aan de -as.
Richtlijn , brandpunt .
Kies dan is en dus .
(Je kunt ook of kiezen.)
geeft .
In :
geeft en dus . Met vind je . De raaklijn is .
In : invullen en met vind je
en dus als raaklijn .
(Je kunt ook werken met .)
geeft en .
Dit is te herleiden tot .
geeft .
Uit de vergelijking bij a lees je af
.
Omdat .
Top , brandpunt en richtlijn .
Top en met as evenwijdig aan de geeft .
Top en met as evenwijdig aan de -as geeft .
Top en met as evenwijdig aan de -as geeft .
Nu is onbekend en negatief. De top is en de vergelijking is .
invullen geeft en hieruit volgt .
Als wordt de vergelijking .
wordt de vergelijking .
geeft en dus en dit kun je schrijven als .
Hieruit lees je af dat de top is en dat .
En dat levert op: brandpunt en richtlijn .
door en geeft als vergelijking .
Invullen in de vergelijking van de parabool en je vindt de snijpunten en .
.
In is en de richtingsvector van de raaklijn dus .
De richtingsvector van is en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je .
In is en de richtingsvector van de raaklijn dus .
De richtingsvector van is en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je .
.
De gevraagde oppervlakte is .
Primitiveren geeft .
Doen.
invullen in cirkelvergelijking geeft en de daaruit volgt .
levert geen -waarden op, levert
`y = 0 vv y = 4`
op.
Snijpunten
`(text(-)1, 0)`
en
`(text(-)1, 4)`
.
snijdt de assen in en in
`(0, 2 +- sqrt(3))`
.
snijdt de -as in en en de
`y`
-as in .
Vanwege de symmetrie van de figuur hoef je de hoek maar in één snijpunt te berekenen.
Verder geldt voor de parabool .
Neem . Daar is en dus .
Een richtingsvector van de raaklijn aan in
is
`((4),(1))`
.
Voor geldt
`vec(MA) = ((text(-)3),(text(-)2))`
en een richtingsvector van de raaklijn aan in
is daarom
`((text(-)2),(3))`
.
Met het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek tussen beide raaklijnen
.
invullen in de vergelijking van geeft .
Met behulp van vind je en en . Raakpunt .
Doen, zie figuur in de opgave.
geeft .
geeft want is rechthoekig en gelijkbenig.
Dus .
Omdat is , dus .
geeft ofwel .
Haakjes wegwerken.
en geeft en dus .
Hiermee vind je .
Parametervoorstelling .
.
Raaklijn evenwijdig aan -as: geeft en dus .
Raaklijn evenwijdig aan -as: geeft en dus .
Top , brandpunt , richtlijn .
De gevraagde hoek is ongeveer .
.
De vier snijpunten zijn , , en .
Neem bijvoorbeeld . De gevraagde hoek is .