Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen

123456Parametervoorstellingen

Uitleg

Je ziet hier de parabool met vergelijking $y^{2} = 8 x$ . Ga dat na.

Je kunt je voorstellen dat een punt `P` deze parabool doorloopt met de "tijd" `t` . Neem je nu aan dat `y = t` , dan volgt uit de vergelijking `8x = t^2` , dus `x = 1/8 t^2` .
Maar zo'n breuk is te vermijden.
Neem liever `y = 4t` , dan krijg je `8x = 16t^2` en dus `x = 2t^2` .

Een geschikte parametervoorstelling zonder breuken is $x = 2 t^{2}$ en $y = 4 t$ .

Het punt $P (2, 4)$ ligt op de parabool, de raaklijn in dit punt aan de parabool is getekend.
Om een vergelijking van deze raaklijn op te stellen moet je de richtingscoëfficiënt ervan weten. Bij een cirkel maak je gebruik van het feit dat zo'n raaklijn loodrecht op de straal naar het raakpunt staat, maar bij een parabool gaat dit niet. Je kunt de helling van de raaklijn echter uit de parametervoorstelling afleiden.

Breng je $Q$ dichter bij $P$ dan gaat de helling van lijn $P Q$ die van de raaklijn benaderen. De helling van de raaklijn is daarom:

`(text(d)y)/(text(d)x) = lim_(Delta x rarr 0)(Delta y(t))/(Delta x(t)) = lim_(Delta t rarr 0)((Delta y(t))/(Delta t))/((Delta x(t))/(Delta t)) = (y'(t))/(x'(t)) = 4/(4t)`

Omdat in het punt `P(2, 4)` geldt dat $t = 1$ , krijg je een raaklijnrichtingscoëfficiënt van `1` .
Je kunt ook zeggen dat in `P(2, 4)` de kromme een richtingsvector van `vec(r) = ((x'(1)),(y'(1))) = ((4),(4))` heeft. En als je `t` opvat als de tijd, dan heeft het bewegende punt `P` in `(2, 4)` een snelheid van `sqrt(4^2+4^2)` , de lengte van de richtingsvector in dat punt.

Opgave 1

In de Uitleg zie je de parabool `p: y^2=8x` .

Bepaal zelf het brandpunt `F` en de vergelijking van de richtlijn `r` van deze parabool.

Teken zelf een parabool (met GeoGebra?) waarvan de richtlijn de lijn `y=3` en het brandpunt `F(0, text(-)3)` is. Stel de vergelijking van deze parabool op en stel een bijpassende parametervoorstelling op.

Voor welke punten op de parabool geldt `y = text(-2)` ?
Bereken deze punten eerst met behulp van de vergelijking en daarna met behulp van de parametervoorstelling.

Waarvoor is de parametervoorstelling van de parabool handig? Bekijk eventueel de uitleg nog eens.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Het gaat nu om het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool in een punt op de parabool.

Waarom is het bepalen van de hellingwaarde van zo'n raaklijn bij een parabool moeilijker dan bij een cirkel?

Ga na dat de parametervoorstelling bij deze parabool klopt door deze in de vergelijking in te vullen.

Je ziet hoe je de helling van de raaklijn kunt berekenen. Waarom geldt $Δ t \to 0$ als $Δ x \to 0$ ?

Bereken nu met behulp van differentiëren de richtingscoëfficiënt van de gevraagde raaklijn en stel een vergelijking van die raaklijn op.

Laat zien dat $Q (8, 8)$ een punt van de parabool is en stel de vergelijking op van de raaklijn in dat punt aan de parabool.

Punt `R` doorloopt de gegeven parabool. Welke snelheid heeft dit punt als het in `(18, 14)` zit?

verder | terug