Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen
123456Parametervoorstellingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Alle punten moeten gelijke afstand hebben tot als tot de lijn .

b

Kies eerst een geschikt assenstelsel. Zie de Uitleg.

Opgave 1
a

De algemene vergelijking van een parabool met een verticale as is waarin de halve afstand van brandpunt tot richtlijn is en de top van de parabool is. Omdat in dit geval de parabool met de top naar boven ligt, is negatief.
De vergelijking is dus .
Kies nu dan is en hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling.

b

Met de vergelijking: geeft .
Je vindt dus de punten en .

Met de parametervoorstelling: geeft .
En dit betekent .
Ga na dat je zo dezelfde punten vindt.

c

Voor het vinden van hellingswaarden en het opstellen van raaklijnen.

Opgave 2
a

Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake.

b

y = 4 t en x = 2 t 2 invullen in y 2 = 8 x geeft 16 t 2 = 8 2 t 2 en dit klopt voor elke waarde van t .

c

Als Δ x 0 dan gaan P en Q samenvallen. Dus dan benadert de t -waarde van Q die van P (bij een nette aaneengesloten kromme).

d

d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) = 4 4 t = 1 t .
In P ( 2 , 4 ) is t = 1 en dus d y d x = 1 1 = 1 zodat de vergelijking van de raaklijn y = x + 2 wordt.

e

Q ( 8 , 8 ) is t = 2 voldoet aan y 2 = 8 x en ligt dus op de parabool.
In Q ( 8 , 8 ) is t = 2 en dus d y d x = 1 2 = 0,5 zodat de vergelijking van de raaklijn y = 0,5 x + 4 wordt.

f

In dat punt geldt . De snelheid is dan .

Opgave 3
a

y 2 = 2 p ( x a )

b

( y b ) 2 = 2 p x

c

p = 1 dus ( y 6 ) 2 = 2 x

d

y 6 = t dus y = t + 6 geeft t 2 = 2 x en dus x = 1 2 t 2 .
Parametervoorstelling: x = 1 2 t 2 en y = t + 6 .

Opgave 4

( x a ) 2 = 2 p ( y b ) met ( a , b ) = ( 2 , 3 ) en p = 4 .
Dit geeft ( x 2 ) 2 = 8 ( y 3 ) .
Kies x 2 = t dus x = t + 2 en je krijgt t 2 = 8 ( y 3 ) en dus y = 1 8 t 2 + 3 .
Parametervoorstelling: x = t + 2 en y = 1 8 t 2 + 3 .

Opgave 5
a

y 2 = 6 x + 6 en x = 5 geeft y 2 = 36 en dus y = ± 6 .
Dit geeft A ( 5 , 6 ) en B ( 5 , -6 ) .

b

y = t geeft y 2 = 6 x + 6 en dus y = 1 6 t 2 1 .

c

d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) = 1 1 3 t = 3 t
In A ( 5 , 6 ) is t = 6 en dus is het hellingsgetal daar 3 6 = 0,5 .
In B ( 5 , -6 ) is t = 6 en dus is het hellingsgetal daar 3 6 = 0,5 .

d

Raaklijn in A is y = 0,5 x + 3,5 .
Raaklijn in B is y = -0,5 x 3,5 .

e

P ( 0,5 ; 3 ) en een richtingscoëfficiënt van a geeft raaklijn y = a x + 3 0,5 a .

f

( a x + 3 0,5 a ) 2 = 6 x + 6 geeft a 2 x 2 + ( 6 + 6 a a 2 ) x + 3 3 a + 0,25 a 2 = 0 . D = 0 geeft a = 1 .

g

Raaklijn y = x + 2,5

Opgave 6
a

y 2 2 y = 4 x geeft ( y 1 ) 2 = 4 ( x + 0,25 )

b

p = 2 dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is .
De as van de parabool is evenwijdig aan de x -as.
Richtlijn x = -1,25 , brandpunt F ( 0,75 ; 1 ) .

c

Kies y = 2 t dan is 4 t 2 4 t = 4 x en dus x = t 2 t .
(Je kunt ook y = t + 1 of y = t kiezen.)

d

x = 0 geeft y = 0 y = 2 .
In ( 0,0 ) : y = a x geeft a 2 x 2 2 a x = 4 x en dus a 2 x 2 + ( 2 a 4 ) x = 0 . Met D = 0 vind je a = -2 . De raaklijn is y = -2 x .
In ( 0 , 2 ) : y = a x + 2 invullen en met D = 0 vind je a = 2 en dus als raaklijn y = 2 x + 2 .
(Je kunt ook werken met d y d x = 2 2 t 1 .)

Opgave 7
a

x = 2 t + 4 geeft t = 1 2 x 2 en y = 4 ( 1 2 x 2 ) 2 + 3 .
Dit is te herleiden tot y 3 = ( x 2 ) 2 .

b

2 p = 1 geeft p = 1 2 .
Uit de vergelijking bij a lees je af b = 3

c

Omdat p > 0 .

d

Top ( 4 , 3 ) , brandpunt F ( 4 ; 3,25 ) en richtlijn r : y = 2,75 .

Opgave 8
a

Top ( 1 , 0 ) en p = -6 met as evenwijdig aan de x geeft y 2 = -12 ( x + 1 ) .

b

Top ( 0 , 2 ) en p = 4 met as evenwijdig aan de y -as geeft x 2 = 8 ( y 2 ) .

c

Top ( 4 , 2 ) en p = 8 met as evenwijdig aan de x -as geeft ( y 2 ) 2 = 16 ( x 4 ) .

d

Nu is p onbekend en negatief. De top is ( 3 0,5 p ; 0 ) en de vergelijking is y 2 = 2 p ( x ( 3 0,5 p ) ) .
( 0 , 4 ) invullen geeft 16 = -2 p ( 3 0,5 p ) en hieruit volgt p = 2 p = 8 .
Als p = 2 wordt de vergelijking y 2 = 4 ( x 4 ) .
p = 8 wordt de vergelijking y 2 = 16 ( x + 1 ) .

Opgave 9
a

y = 2 t + 2 geeft t = 0,5 y 1 en dus x = ( 0,5 y 1 ) 2 4 en dit kun je schrijven als ( y 2 ) 2 = 4 ( x + 4 ) .
Hieruit lees je af dat de top ( 4 , 2 ) is en dat p = 2 .
En dat levert op: brandpunt F ( -3 , 2 ) en richtlijn x = 5 .

b

l door A ( 0 , 2 ) en B ( 3 , 0 ) geeft als vergelijking y = 2 3 x + 2 .
Invulen in de vergelijking van de parabool en je vindt de snijpunten C ( 12 , -6 ) en D ( -3 , 4 ) .

c

d y d x = 1 t .
In C is t = 4 en de richtingsvector van de raaklijn dus r 1 = ( 1 0,25 ) .
De richtingsvector van l is ( 3 -2 ) en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je φ 1 20 .
In D is t = 1 en de richtingsvector van de raaklijn dus r 2 = ( 1 1 ) .
De richtingsvector van l is ( 3 -2 ) en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je φ 2 79 .

d

y = ± 4 x + 16 + 2 .
De gevraagde oppervlakte is -4 -3 ( 4 x + 16 + 2 ( 4 x + 16 + 2 ) ) d x + 3 12 ( 2 3 x + 2 ( 4 x + 16 + 2 ) ) d x .
Primitiveren geeft [ ( 2 x + 8 ) 4 x + 16 ] -4 -3 + [ 1 3 x 2 + ( x + 4 ) 4 x + 16 ] 3 12 .

Opgave 10
a

Doen.

b

( y 2 ) 2 = x + 4 invullen in cirkelvergelijking geeft ( x 2 ) 2 x + 4 = 13 en de daaruit volgt x = 5 x = -1 .
x = 5 levert geen y -waarden op, x = -1 levert op.
Snijpunten en .

c

p snijdt de assen in ( -1 , 0 ) en in .
c snijdt de x -as in ( -1 , 0 ) en ( 5 , 0 ) en de -as in ( 0 , 5 ) .

d

Vanwege de symmetrie van de figuur hoef je de hoek maar in één snijpunt te berekenen. Verder geldt voor de parabool d y d x = - 1 -2 t .
Neem A ( -1 , 0 ) . Daar is t = -2 en dus d y d x = 1 4 .
Een richtingsvector van de raaklijn aan p in A is .
Voor c geldt en een richtingsvector van de raaklijn aan c in A is daarom .
Met het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek tussen beide raaklijnen φ 70 .

Opgave 11

y = 3 x + b invullen in de vergelijking van p geeft 9 x 2 + ( -18 + 6 b ) x + b 2 8 b + 10 = 0 .
Met behulp van D = 0 vind je b = 0,5 en x = 5 6 en y = 2 . Raakpunt ( 5 6 , 3 ) .

Opgave 12
a

Doen, zie figuur in de opgave.

b

| O A | = x geeft | A C | = 4 x .
| A P | = y geeft | B C | = y want B C D is rechthoekig en gelijkbenig.
Dus | A B | = | P B | = 4 x y .
Omdat | P Q | = | Q D | is 2 | P Q | 2 = | P D | 2 = ( 4 x y ) 2 , dus | P D | = 0,5 ( 4 x y ) 2 .

c

| O P | = | P Q | geeft x 2 + y 2 = 0,5 ( 4 x y ) 2 ofwel 2 ( x 2 + y 2 ) = ( 4 x y ) 2 .

d

Haakjes wegwerken.

e

x y = 4 t en x + y = 2 2 t 2 geeft 2 x = 2 t 2 + 4 t + 2 en dus x = t 2 + 2 t + 1 .
Hiermee vind je y = 2 2 t 2 ( t 2 + 2 t + 1 ) = t 2 + 2 t + 1 .
Parametervoorstelling ( x , y ) = ( t 2 + 2 t + 1 , t 2 2 t + 1 ) .

f

d y d x = 2 t 2 2 t + 2 .
Raaklijn evenwijdig aan x -as: 2 t 2 = 0 geeft t = 1 en dus ( 2,2 ) .
Raaklijn evenwijdig aan y -as: 2 t + 2 = 0 geeft t = 1 en dus ( 2, 2 ) .

Opgave 13
a

t = y + 3 geeft x = 4 0,1 ( y + 3 ) 2 en dus ( y + 3 ) 2 = -10 ( x 4 ) .
Top ( 4 , -3 ) , brandpunt F ( 1,5 ; -3 ) , richtlijn x = 6,5 .

b

x = -6 geeft ( y + 3 ) 2 = 100 en dus y = -13 y = 7 .
Verder is d y d x = -5 t .
In ( 6 , -7 ) is t = 10 en d y d x = -0,5 dus de raaklijnvergelijking is y = -0,5 x 4 .
In ( 6 , -13 ) is t = -10 en d y d x = 0,5 dus de raaklijnvergelijking is y = 0,5 x 16 .
De gevraagde hoek (werk met tan of met het inproduct) is ongeveer 53 .

c

d y d x = -2 geeft t = 2,5 en dus het punt ( 3,375 ; 0,5 ) .

Opgave 14
a

De vergelijking van p is te herleiden tot ( y 2 ) 2 = 8 x 24 .
Dit invullen in de cirkelvergelijking geeft x = 5 x = 11 .
De vier snijpunten zijn ( 5 , -2 ) , ( 5 , 6 ) , ( , -6 ) en ( 11 , 10 ) .

b

Neem bijvoorbeeld A ( 5 , 6 ) . Voor c geldt: M ( 12 , 2 ) en M A = ( -7 4 ) , dus de richtingsvector van de raaklijn in A aan c is ( 4 7 ) .
Voor p geldt: y = t + 2 geeft x = 1 8 t 2 + 3 en dus d y d x = 4 t . In A is t = 4 en dus d y d x = 1 , dus de richtingsvector van de raaklijn in A aan p is ( 1 1 ) .
Met behulp van het inproduct van deze richtingsvectoren vind je de gevraagde hoek 15 .

verder | terug