Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen

123456Parametervoorstellingen

Toepassen

Opgave 12Scheve parabool

Scheve parabool

Een parabool hoeft geen symmetrieas te hebben die evenwijdig is aan de $x$ -as of de $y$ -as. De symmetrieas kan ook "scheef" zijn. Neem bijvoorbeeld een parabool $p$ waarvan het brandpunt de oorsprong $O$ van het assenstelsel is en de richtlijn de lijn $l : x + y = 4$ is.

Construeer deze parabool met behulp van GeoGebra.

In de figuur hiernaast is $P$ een punt van de parabool, dus $| O P | = | P Q |$ .
Leid uit $| O A | = x$ en $| A P | = y$ af dat ${| P Q |}^{2} = 0,5 \cdot {(4 - x - y)}^{2}$ .

Laat zien dat voor $P$ geldt:
$2 (x^{2} + y^{2}) = {(4 - x - y)}^{2}$ .

Laat zien dat bij parabool $p$ de vergelijking $x^{2} - 2 x y + y^{2} + 8 x + 8 y - 16 = 0$ hoort.

Deze vergelijking kun je schrijven als ${(x - y)}^{2} + 8 (x + y) - 16 = 0$ . Neem je nu $x - y = 4 t$ dan kun je ook $x + y$ in $t$ uitdrukken. Maak zo een parametervoorstelling van $p$ .

Bereken nu de coördinaten van de punten op $p$ waarin de raaklijn evenwijdig loopt aan de $x$ -as of de $y$ -as.

verder | terug