Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen
123456Parametervoorstellingen

Verwerken

Opgave 8

Hieronder wordt een parabool p omschreven. Stel er een vergelijking en een parametervoorstelling van p op.

a

p heeft brandpunt ( 4 , 0 ) en richtlijn x = 2

b

p heeft top ( 0 , 2 ) en richtlijn y = 0 .

c

p heeft brandpunt ( 0 , 2 ) en top ( 4 , 2 ) .

d

p heeft brandpunt ( 3 , 0 ) , een richtlijn evenwijdig aan de y -as en gaat door ( 0 , 4 )

Opgave 9

De parabool p is gegeven door de parametervoorstelling x = t 2 4 en y = 2 t + 2 .
Lijn l gaat door A ( 0 , 2 ) en B ( 3 , 0 ) .

a

Bereken van p de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn

b

Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van p en l .

c

Lijn l snijdt p in twee punten. Bereken in elk van deze punten de hoek waaronder l parabool p snijdt.

Doe de volgende opdracht alleen als je de techniek van het integreren beheerst.

d

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de parabool en de lijn.

Opgave 10

Gegeven zijn ten opzichte van een cartesisch assenstelsel de parabool p : ( y 2 ) 2 = x + 3 en de cirkel c : ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 13 .

a

Teken beide krommen (met GeoGebra?) in één figuur.

b

Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van p en c .

c

Bereken van beide krommen de coördinaten van de snijpunten met de assen.

d

Bereken de hoek(en) waaronder beide krommen elkaar snijden.

Opgave 11

Een lijn l met richtingscoëfficiënt raakt de parabool p met vergelijking y 2 8 y + 6 x + 10 = 0 .
Bereken de exacte coördinaten van het raakpunt.

Opgave 12

Een parabool hoeft geen symmetrieas te hebben die evenwijdig is aan de x -as of de y -as. De symmetrieas kan ook "scheef" zijn. Neem bijvoorbeeld een parabool p waarvan het brandpunt de oorsprong O van het assenstelsel is en de richtlijn de lijn l : x + y = 4 is.

a

Construeer deze parabool met behulp van GeoGebra.

b

In de figuur hiernaast is P een punt van de parabool, dus | O P | = | P Q | .
Leid uit | O A | = x en | A P | = y af dat | P Q | 2 = 0,5 ( 4 x y ) 2 .

c

Laat zien dat voor P geldt:
2 ( x 2 + y 2 ) = ( 4 x y ) 2 .

d

Laat zien dat bij parabool p de vergelijking x 2 2 x y + y 2 + 8 x + 8 y 16 = 0 hoort.

e

Deze vergelijking kun je schrijven als ( x y ) 2 + 8 ( x + y ) 16 = 0 . Neem je nu x y = 4 t dan kun je ook x + y in t uitdrukken. Maak zo een parametervoorstelling van p .

f

Bereken nu de coördinaten van de punten op p waarin de raaklijn evenwijdig loopt aan de x -as of de y -as.

verder | terug