Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Parametervoorstellingen

123456Parametervoorstellingen

Voorbeeld 2

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de parabool $p$ met vergelijking $y^{2} = 4 x + 2 y$ in het punt $P (2, 4)$ .

> antwoord

Een parametervoorstelling van deze parabool is $x = t^{2} - t$ en $y = 2 t$ .

Het punt $P (2, 4)$ ligt op de parabool. (Altijd even nagaan!)
In dat punt is $t = 2$ .

Voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn geldt:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y' (t)}{x' (t)} = \frac{2}{2 t - 1}$ .

De gevraagde raaklijn heeft dus een richtingscoëfficiënt van $\frac{2}{3}$ .
De vergelijking ervan is $y = \frac{2}{3} x + \frac{8}{3}$ .

Opgave 5

In de Theorie gaat het over het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool. Neem nu de parabool gegeven door $y^{2} = 6 x + 6$ .

Bereken de punten op de parabool met $x = 5$ .

Maak een parametervoorstelling bij deze parabool.

Bereken in beide punten die je bij a hebt gevonden de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.

Stel van beide raaklijnen bedoeld in c de vergelijking op.

In de Theorie staat ook dat je de raaklijn aan een parabool op een andere manier kunt berekenen, namelijk met behulp van de discriminant van een kwadratische vergelijking.

Neem het punt $P (0,5; 3)$ op de parabool. Stel een vergelijking op van de lijn door $P$ met richtingscoëfficiënt $a$ .

Snijd deze lijn met de parabool en bereken vervolgens $a$ zo, dat beide snijpunten samenvallen.

Welke vergelijking heeft de raaklijn in $P$ aan de parabool?

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 2.

Schrijf door kwadraat afsplitsen de vergelijking van de parabool zo, dat je er de top uit kunt aflezen.

Bepaal de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn van deze parabool.

Laat zien hoe de parametervoorstelling van deze parabool kan worden gevonden.

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan parabool $p$ in de punten van $p$ waarvoor $x = 0$ .

verder | terug