Krommen en oppervlakken

Opgave 11

Hieronder wordt een kromme $k$ omschreven. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van $k$ op.

a

$k$ is een ellips met brandpunten $(- 3, 2)$ en $(5, 2)$ die door $(1, 5)$ gaat.

b

$k$ is een hyperbool met brandpunten $(- 3, 2)$ en $(5, 2)$ die door $(5, 8)$ gaat.

c

$k$ is een ellips waarvan de richtcirkel de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 9$ heeft en het brandpunt $F (0, 2)$ is.

Opgave 12

Gegeven zijn de ellips $e$ door `x^2 + 4y^2 = 4x + 8y - 4` en de parabool $p$ door `(x - 2)^2 = 4y` .

a

Bereken van de ellips de coördinaten van de brandpunten.

b

Bewijs de symmetrie van de ellips t.o.v. het punt $C$ dat midden tussen beide brandpunten ligt.

c

Bereken de snijpunten van beide krommen.

d

Bereken de hoeken waaronder beide krommen elkaar snijden.

Opgave 13

De hyperbool $h$ is gegeven door de vergelijking $x^{2} - y^{2} = 1$ .

a

Bereken de snijpunten van $h$ met de assen.

b

Bereken de exacte coördinaten van de brandpunten van $h$ .

c

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan de hyperbool in de punten van $h$ die liggen op de lijn $x = 2$ . Bereken de coördinaten van het snijpunt van beide raaklijnen.

De lijn $l$ door de punten $A (1, 1)$ en $B (3, 2)$ snijdt $h$ in twee punten $C$ en $D$ .

d

Welke hoek maken de raaklijnen in $C$ en $D$ aan de hyperbool met elkaar?

e

Bewijs dat de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = p$ de hyperbool voor geen enkele reële waarde van $p$ loodrecht snijdt.

Opgave 14

De ellips $e$ is gegeven door de parametervoorstelling $(x, y) = (2 + 2 \cos (t), \sin (t))$ .

a

Welke vergelijking heeft deze ellips?

De rechte lijn $l$ met vergelijking $y = x - 1$ snijdt de ellips in $A$ en $B$ .

b

Bereken de lengte van lijnstuk $A B$ .

c

Onder welke hoek(en) snijdt $l$ de ellips?

d

Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan $e$ die door het punt $P (0, 2)$ gaan.

Opgave 15

Gegeven is de kromme $k$ door ${(x + y)}^{2} = 8 x$ .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ met de beide assen.

b

Bereken de coördinaten van de punten van $k$ waarin de raaklijn evenwijdig is met één der assen.

c

De lijn met vergelijking $x - y = p$ raakt $k$ . Bereken $p$ .

d

Toon aan dat elke lijn met vergelijking $x + y = q$ precies één punt met $k$ gemeen heeft, maar hem niet raakt.

Verwerken