Krommen en oppervlakken > Krommen in 2D
123456Krommen in 2D

Voorbeeld 2

De brandpunten van de hyperbool met vergelijking `4x^2 - y^2 - 8x + 4y = 16` liggen beide op een lijn evenwijdig aan de `x` -as. Bereken hun coördinaten. Stel een vergelijking op van de raaklijnen aan deze hyperbool voor `x=4` .

> antwoord

Nu is `4x^2 - 8x = 4(x^2 - 2x) = 4((x - 1)^2 - 1) = 4(x - 1)^2 - 4` .
En `text(-)y^2 + 4y = text(-)(y - 2)^2 + 4` .
Hiermee wordt de vergelijking `4(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = 16` .
Die kun je schrijven als: ( x - 1 ) 2 4 - ( y - 2 ) 2 16 = 1 . Nu kun je de brandpunten bepalen.

Voor de vergelijking van een raaklijn moet je d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) bepalen.
Maar, je hebt geen parametervoorstelling van de hyperbool. Die is ook niet nodig. Je werkt met de gegeven vergelijking en doet net alsof `x = x(t)` en `y = y(t)` . Je differentieert dan de vergelijking van de hyperbool (let op de kettingregel) alsof je met functies van `t` te maken hebt (dit heet impliciet differentiëren):

`8x ⋅ x'(t) - 2y ⋅ y'(t) - 8x'(t) + 4y'(t) = 0`

Dit geeft: y ' ( t ) x ' ( t ) = 8 - 8 x 4 - 2 y en dus d y d x = 8 - 8 x 4 - 2 y .

Ga na dat bij `x=4` hoort `y = 2 +- 2sqrt(5)` .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan `(text(d)y)/(text(d)x) = +- 6/(sqrt(5))` .
Nu kun je de vergelijkingen van beide raaklijnen opstellen.

Opgave 9

Bekijk Voorbeeld 2.

a

Ga na hoe je door kwadraat afsplitsen de vergelijking van de hyperbool zo kunt schrijven dat je het centrum ervan kunt aflezen.

b

Bepaal de coördinaten van de brandpunten van deze hyperbool.

c

De rechtertak van de hyperbool kan worden geconstrueerd met behulp van een richtcirkel. Welk middelpunt heeft deze richtcirkel? En hoe groot is de straal ervan?

Bestudeer nog even de manier waarop een formule voor het hellingsgetal van de raaklijn in een punt van de hyperbool wordt berekend. De techniek van impliciet differentiëren kun je vaak toepassen.

d

Laat zien hoe je aan de formule voor d y d x kunt komen.

e

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de hyperbool voor `x=4` .

f

Onderzoek of er punten op de hyperbool zijn waarin de raaklijn een richtingscoëfficiënt van 1 heeft.

verder | terug