Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Krommen in 2D

123456Krommen in 2D

Uitleg

Als je voor de richtcirkel `r=8` neemt, ontstaat de ellips met vergelijking
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ .
Het getal `16 = 4^2` is het kwadraat van de halve lengte van het lijnstuk dat de ellips afsnijdt van de lijn door beide brandpunten. Het getal `7 = (sqrt(7))^2` is het kwadraat van de halve lengte van de andere symmetrieas.

Je kunt er een parametervoorstellingen bij maken. Daarbij moet je (net als bij de parametervoorstelling van een cirkel) denken aan de goniometrische formule `sin^2(t) + cos^2(t) = 1` . Neem `x = 4 cos(t)` en `y = sqrt(7) sin(t)` en je vult dit in de vergelijking van de ellips in, dan ontstaat juist die formule. En aangezien die formule voor elke `t` geldig is, heb je meteen een geldige parametervoorstelling voor de ellips.

Met deze parametervoorstelling kun je vergelijkingen van raaklijnen aan een ellips opstellen, net als je dat eerder bij de parabool hebt gedaan.

Opgave 1

Bekijk de ellips uit Uitleg 1 nog eens.

Toon aan dat elk punt $A$ met $x = 4 \cos (t)$ en $y = \sqrt{(7)} \sin (t)$ (met $t$ in radialen) op deze ellips ligt.

Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de ellips gevonden.

Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de ellips waar de raaklijn horizontaal is en waar de raaklijn verticaal is.

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt $P$ met $x$ -coördinaat $2$ en een positieve $y$ -coördinaat.

Het centrum van de ellips $e$ is $(0, 0)$ . Je verschuift de ellips tot het centrum $(3, 2)$ is. Er ontstaat een nieuwe ellips $e_{2}$ .

Stel een parametervoorstelling op van $e_{2}$ .

Stel een vergelijking op van $e_{2}$ .

Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

verder | terug