Krommen en oppervlakken > Krommen in 2D
123456Krommen in 2D

Uitleg

Als je voor de richtcirkel `r=4` neemt, ontstaat de hyperbool met vergelijking
x 2 4 - y 5 5 = 1 .
Het getal `4 = 2^2` is het kwadraat van de halve lengte van het lijnstuk dat de hyperbool afsnijdt van de lijn door beide brandpunten. Het getal `5 = (sqrt(3^2 - 2^2))^2 ` is de wortel uit het verschil van de kwadraten van de afstanden van een brandpunt tot het symmetriepunt en van een top tot het symmetriepunt.

Wil je nu een raaklijn aan deze hyperbool opstellen voor bijvoorbeeld `(4, sqrt(15))` dan kun je met een parametervoorstelling gaan werken.
Zo'n parametervoorstelling vind je door `y = sqrt(5)t` te kiezen en dan `x(t)` te bepalen. Dat gaat prima, alleen krijg je nogal vervelende wortelvormen. Die zijn vooral vervelend omdat je er mee moet differentiëren.

Maar het kan ook anders.
Doe net alsof je een parametervoorstelling `x = x(t)` en `y = y(t)` hebt gemaakt en vul die in de vergelijking van de hyperbool in:
`((x(t))^2)/4 - ((y(t))^2)/5 = 1` geeft `5(x(t))^2 - 4(y(t))^2 = 20`

En nu ga je dit gewoon differentiëren naar `t` , gebruik de kettingregel:
`5*2(x(t))^1*x'(t) - 4*2(y(t))^1 * y'(t) = 0` en dit geeft: `8y(t)*y'(t) = 10x(t)*x'(t)` ofwel `(y'(t))/(x'(t)) = (10x(t))/(8y(t)) = (5x)/(4y)` .
Dus is de helling in een punt `P(x, y)` gelijk aan `(text(d)y)/(text(d)x) = (5x)/(4y)` .
Wil je de helling in `(4, sqrt(15))` ?
Dan vul je die waarden in je formule voor de hellingswaarde in: `(text(d)y)/(text(d)x) = (5*4)/(4*sqrt(15)) = 5/(sqrt(15))` .

Deze handige techniek heet "impliciet differentiëren" . Het werkt ook voor parabolen, ellipsen en andere krommen in 2D.

Opgave 2

Bekijk de hyperbool uit Uitleg 2 nog eens.

a

Toon aan dat elk punt A met x = 2 cos ( t ) en y = 5 sin ( t ) cos ( t ) (met t in radialen) op deze hyperbool ligt.

Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de hyperbool gevonden.

b

Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de hyperbool waar de raaklijn verticaal is.

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de hyperbool in het punt P met x -coördinaat 3 en een positieve y -coördinaat.

Het centrum van de hyperbool h is ( 0 , 0 ) . Je verschuift de ellips tot het centrum ( 3 , 2 ) is. Er ontstaat een nieuwe ellips h 2 .

d

Stel een vergelijking op van h 2 .

e

Bereken van deze nieuwe hyperbool de exacte snijpunten met de coördinaatassen.

Opgave 3

Bekijk hoe in Uitleg 2 de helling in het punt `(4, sqrt(15))` wordt bepaald door impliciet differentiëren.

a

Doe dit zelf ook eens.

b

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de hyperbool in het genoemde punt.

Opgave 4

Gegeven is de ellips `((x-2)^2)/16 + ((y-1)^2)/9 = 1` .

a

Bereken beide snijpunten met de `y` -as van deze ellips.

b

Stel met behulp van impliciet differentiëren de vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het bovenste van de bij a genoemde snijpunten.

verder | terug