Zie tabel.

Doen, het wordt nog een heel gepruts!

Een cirkel met straal `3` en middelpunt `O(0, 0)` .

`x^2+y^2=9`

Een sinusoïde.

`x = 3 cos(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `x = 3 cos((2pi)/3 z)` .

`y = 3 sin(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `y = 3 sin((2pi)/3 z)` .

`3/(2pi) t = 2` geeft `t = (4pi)/3` en dus `x = text(-)1,5` en `y = 1,5sqrt3` . Dus `(text(-)1,5; 1,5sqrt3; 2)` .

`3 cos(t) = 3 sin(t)` geeft `tan(t) = 1` dus `t = 1/4 pi + k * pi` .
Dus snijpunten `(1 1/2 sqrt2, 1 1/2 sqrt2, 3/8 + k * 1 1/2)` en `(text(-)1 1/2 sqrt2, text(-)1 1/2 sqrt2, 5/8 + k * 1 1/2)` .

`x = 3t` , `y = 2 + 2t` en `z = 4 + t` .

Een lijn door `(0, 2, 4)` en `(3, 4, 5)` .

Er zijn snijpunten met elk grensvlak van de kubus, maar die liggen vaak buiten de kubus. De enige die op de kubus liggen zijn `(0, 2, 4)` en `(6, 6, 6)` .

Bij `(6, 6, 6)` hoort `t=2` en bij `(0, 2, 4)` hoort `t=0` , dus `0 \le t \le 2` .

`sqrt(6^2 + 4^2 + 2^2) =sqrt(56)`

Het punt zit `2` seconden binnen de kubus.
Elke seconde legt het de vector `1/2 ((6),(4),(2)) = ((3),(2),(1))` af, dus de snelheid is `sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt14` m/s.

P.v. is `x = 7` , `y = t` en `z = 4 - t` . (Eerst de vraag bij b beantwoorden, dan gaat die bij a gemakkelijker, hoewel het ook anders kan.)
`t=10` geeft het punt `(7, 10, text(-)6)` .
`t=text(-)2` geeft het punt `(7, text(-)2, 6)` .

Zie a.

`sqrt(0^2 + 1^2 + (text(-)1)^2) = sqrt(2)` m/s.

`vec(v) = ((0),(1),(text(-)1))` . De snelheidsvector heeft lengte en ook richting. De snelheid is de lengte van de snelheidsvector.

Differentieer `x(t)` , `y(t)` en `z(t)` .

Dat is zo als `7 = 9 + t ^^ t = 6 + 2t ^^ 4 - t = 6 + 2t` . Er is geen enkele waarde van `t` die aan alle drie deze vergelijkingen voldoet. Ze botsen dus niet.

Nu moet je oplossen `7 = 9 + t ^^ s = 6 + 2t ^^ 4 - s = 6 + 2t` . De waarden `s=2` en `t=text(-)2` voldoen aan alle drie de vergelijkingen.
Dus er is een snijpunt, namelijk `(7, 2, 2)` .

Een vergelijking in `x` , `y` en `z` beschrijft een plat vlak of een gebogen oppervlak in de ruimte, want zo'n vergelijking maakt het in principe mogelijk om bij elke set waarden `x` en `y` een `z` -waarde te vinden. En bij een lijn kan dat niet.

Kijk je van boven op het `xy` -vlak, dan zie je `(x, y) = (3cos(t), 3sin(t))` en dat is de p.v. van een cirkel. En verder ga je al draaiend in de `z` -richting langzaam en gelijkmatig omhoog.

Doen, vergelijk jouw antwoord met het voorbeeld.

Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (2 cos(t), 2 sin(t), 3/(2pi)t)` .

Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (2 cos(t), 2 sin(t), 6/(2pi)t)` .

Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (t, 2 cos(t), 2 sin(t))` .

Omdat de schroeflijn om de `z` -as altijd de gedaante `(x, y, z) = (a cos(ct), a sin(ct), bt)` heeft en de snelheidsvector is dan `(x', y', z') = (text(-)ac sin(ct), ac cos(ct), b)` . De lengte hiervan is `sqrt(a^2c^2 + b^2)` want `sin^2(ct) + cos^2(ct) = 1` .
Voor schroeflijnen om andere assen vind je iets vergelijkbaars.

Nee, die hangt af van `t` .

Bijvoorbeeld door (in de p.v. van a) zowel `b` als `c` twee keer zo groot te maken. Alleen wordt dan ook de spoed groter. Je kunt ook `4a^2c^2 + 4b^2 = p^2a^2c^2 + b^2` oplossen voor `p` : `p = sqrt(4 + 3(b/ac)^2)` en dan in de p.v. `c` vervangen door `pc` .

`x = 0,5pi` geeft `(x', y', z') = (text(-)3, 0, 3/(2pi))` en als raaklijnvector `((text(-)3),(0),(3/(2pi)))` .
Het raakpunt is `(x,y,z) = (0, 3, 3/4)` , dus de raaklijn is `((x),(y),(z)) = ((0),(3),(3/4)) + q * ((text(-)3),(0),(3/(2pi)))` .

De `y` -as heeft richtingsvector `((0),(1),(0))` en het inproduct van de richtingsvectoren is `0` . De hoek is daarom `90^@` .

`z = 0` geeft `q = text(-)0,5pi` , dus het snijpunt is `(1,5pi; 3; 0)` . Het `xy` -vlak heeft normaalvector `((0),(0),(1))` en de hoek van deze vector met de richtingsvector van de raaklijn kun je met behulp van het inproduct van beide uitrekenen: `varphi ~~ 81^@` . De gevraagde hoek is daarom ongeveer `9^@` .

Als `t = 0` , dus in het punt `(0, 2, 0)` .

Als `t = 81` .

Je ziet dan een rechte lijn met p.v. `(x, y) = (t, t+2)` en dus vergelijkingen `y = x + 2 ^^ z = 0` .

Je ziet dan de kromme `(y, z) = (t+2, sqrt(t))` en met vergelijkingen `z = (y - 2)^2 ^^ x = 0` .

`vec(v) = ((1), (1), (1/(2sqrt(t))))`

`z = 9` geeft `t = 81` en dus `vec(v) = ((1), (1), (1/18))` met lengte `|vec(v)|=sqrt(2 1/324)` .

De richtingsvector van het vlak `z = 9` is `((0),(0),(1))` en de hoek met `vec(v)` vind je met behulp van het inproduct een hoek van `88^@` .

`vec(OP) = ((t),(t+2),(sqrt(t)))` heeft lengte `L(t) = sqrt(t^2 + (t+2)^2 + t) = sqrt(2t^2 +5t + 4)` .
Deze lengte is minimaal als `f(t) = 2t^2 + 5t +4` minimaal is, dus als `t = text(-)2,5` en dat kan niet. Kennelijk is op `t=0` de afstand tot `O` het kleinst. De kortste afstand is `2` .

`x` neemt alle waarden in `[text(-)8, 8]` aan, `y` neemt alle waarden in `[text(-)8, 8]` aan en `z` neemt alle waarden in `[2, 18]` aan.

`(x(t), y(t)) = (8 sin(t), 8 sin(2t))`

In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor `t` en voer in `P = (8 sin(t),8 sin(2t))` . Stel `t` in zodat hij in ieder geval het interval `[0, 2pi]` kan doorlopen en zet van `P` het spoor aan. En dan maar schuiven met de `t` ...

Doen, zie c.

Bij het afleggen van die acht op het `xy` -vlak ga je vanaf `z = 10` (bij `t=0` ) omhoog en omlaag tot je op `t=2pi` (voor de vierde keer) weer op `z=10` uitkomt.

`(x',y',z') = (8 cos(t), 16 cos(2t), 16 cos(2t))` is de snelheidsvector met een lengte van `sqrt(64 cos^2(t) + 512 cos^2(2t))` .
Hoogste punten `t = 1/4 pi vv t = 1 1/4 pi` met snelheid `sqrt288` lengte-eenheden per tijdseenheid.
Laagste punten `t = 3/4 pi vv t = 1 3/4 pi` met snelheid `sqrt288` lengte-eenheden per tijdseenheid.

In de hoogste en de laagste punten zijn de hoeken van de snelheidsvector met het `xy` -vlak steeds `0^@` .

De hoogste snelheden treden op bij de momenten dat `z = 10` wordt gepasseerd. Bijvoorbeeld op `t = 0` is de snelheid `sqrt(576)` lengte-eenheden per tijdseenheid.

`L = int_0^(2pi) (v(t))text(d)t = int_0^(2pi) (320 cos^2(t) + 256 cos^2(2t))text(d)t ~~ 1809,56`

Voor `k_1` geldt `(x', y', z') = (1, 2, 1)` , dus een constante richtingsvector.

`P` op `k_1` geeft `vec(OP) = ((t+1),(2t),(t+3))` met een lengte van `L(t) = sqrt((t+1)^2 + 4t^2 + (t+3)^2) = sqrt(6t^2 + 8t + 10)` .
Kortste afstand als `6t^2 + 8t + 10` minimaal is, dus als `t = text(-) 2/3` . De kortste afstand is `sqrt(7 1/3)` .
Dit kun je ook oplossen door meetkundig de afstand van `O` tot lijn `k_1` uit te rekenen: loodlijn erop, etc.

Bij het snijpunt hoort `t=1 ^^ s=2` , dus het is `(2, 2, 4)` . Het gaat nu om de hoek tussen beide richtingsvectoren `((1),(2),(1))` en `((1),(1),(4))` . Met het inproduct vind je ongeveer `48^@` .

`((1),(1),(2s))` // het `yz` -vlak betekent `x' = 1 = 0` , dus dat kan niet. Dus er bestaat geen punt waarvoor de raaklijn evenwijdig als aan het `yz` -vlak.
`((1),(1),(2s))` // het `xy` -vlak betekent `z' = 2s = 0` , dus dat is het geval als `s=0` . Dus in `(0, 0, 0)` .

Doen.

`(0, 0, 0)` en `(sqrt(6), sqrt(6), 6)` .

`k_1` heeft de punten `(1, 0, 3)` en `(4, 6, 6)` met de kubus gemeen. De afstand tussen deze punten is `sqrt(54)` .

`t=0` geeft `(0, 0, 4)` .

`x` neemt alle waarden uit `[0, rarr:)` aan, `y` en `z` nemen alle waarden uit `[text(-)4, 4]` aan.

De projectie op het `yz` -vlak is de cirkel `(y, z) = (4 sin(t), 4 cos(t))` . De kromme is een schroeflijn op een cilinder met de `x` -as als as.

In `0 \le t \le 2pi` wordt een complete omwenteling afgelegd. De lengte van de kromme is `sqrt((4pi)^2 + (8pi)^2) = pi sqrt(80)` .

`x = 4` betekent `t=2` . De kromme heeft daar een raaklijnvector van `((2),(4 cos(2)),(text(-)4 sin(2)))` .
Het vlak heeft normaalvector `((1),(0),(0))` . De hoek tussen deze normaalvector en de raaklijnvector van de kromme is ongeveer `63^@` . De gevraagde hoek is `27^@` .

`sqrt(2^2 + (4 cos(2))^2 + (text(-)4 sin(2))^2)=sqrt(36)=6`

Met het `yz` -vlak: `x = 0` dus het punt `(0, 0, 1)` .
Met het `xz` -vlak: `y = 0` dus het punt `(0, 0, 1)` en het punt `(2, 0, text(e))` .
Met het `xy` -vlak: `z = 0` dus geen snijpunt.

`(x',y',z') = (2, 2t - 1, text(e)^t)` .
Evenwijdig met het `yz` -vlak: `x' = 0` dus geen punt waar dit zo is.
Evenwijdig met het `xz` -vlak: `y' = 0` dus het punt `(1, text(-) 1/4, sqrt(text(e)))` .
Evenwijdig met het `xy` -vlak: `z' = 0` dus geen punt waar dit zo is.

Het bedoelde punt is `(0, 0, 1)` . De richtingsvector van de `z` -as is `((0),(0),(1))` en de raaklijnvector van de kromme is in dat punt `((2),(text(-)1),(1))` . De gevraagde hoek is ongeveer `66^@` .

Een p.v. van de baan van `P_1` is `(x, y, z) = (2t, 4t, 6)` .
Beide punten botsen als `t^2 - 0,25 = 6` , dus als `t = 2,5` (de negatieve waarde vervalt, we beginnen op `t=0` ). Het botsingspunt is dus `(5, 10, 6)` .

De snelheid van `P_1` is `sqrt(2^2+4^2+6^2) = sqrt(56)` .

De snelheid van `P_2` is `sqrt(2^2+4^2+5^2) = sqrt(45)` .

Het gaat om de hoek tussen `((2),(4),(0))` en `((2),(4),(5))` .
Even hun inproduct berekenen en je vindt `~~48^@` .

`x = 0 ^^ y = 0` geeft `t = 4pi` , dus het punt is `(0, 0, 8pi)` .

`x = 0` geeft `t = k*pi` en dus de punten `(0, 4pi, 0)` , `(0, 3pi, 2pi)` , `(0, 2pi, 4pi)` , `(0, pi, 6pi)` en `(0, 0, 8pi)` .
De projectie wordt een sinusoïde waarvan de amplitude steeds kleiner wordt.
De p.v. is `(y, z) = ((4pi - t) cos(t), 2t))` en een bijbehorende vergelijking is `y = (4pi - 0,5z) cos(0,5z)` .

In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor `t` en voer in `Q = ((4pi - t) sin(t), (4pi - t) cos(t))` . Stel `t` in zodat hij in ieder geval het interval `[0,2pi]` kan doorlopen en zet van `Q` het spoor aan. En dan maar schuiven met de `t` ...
Je zou een spiraal moeten krijgen.

`|vec(OR)| = sqrt((4pi - t)^2 + 4t^2) = sqrt(16pi^2 - 8pi t + 5t^2)`

Een beetje algebra geeft `v = sqrt((4pi - t)^2 + t^2 + 4)` .
Op `t=0` is `v = sqrt(16pi^2 + 4)` .

`f(t) = (4pi - t)^2 + t^2 + 4 = 2t^2 - 8pi t + 16pi^2 + 4` heeft een minimum als `t = 2pi` . De minimumsnelheid is `sqrt(8pi^2 + 4)` .

De raaklijnvector is `((text(-)t sin(t) + (4pi - t)cos(t)),(text(-)t cos(t) - (4pi - t)sin(t)),(2))` .
In het punt op de `z` -as is `t = 4pi` . De raaklijnvector in dat punt is `((0),(text(-)4pi),(2))` . De `z` -as heeft richtingsvector `((0),(0),(1))` . Met het inproduct vind je de gewenste hoek van ongeveer `81^@` .

`L = int_0^(4pi) v(t)text(d)t = int_0^(2pi) sqrt((4pi - t)^2 + t^2 + 4) text(d)t ~~ 130,6`

De schroeflijn begint in `(4, 2, 0)` en is na één omwenteling in `(4, 2, 2pi)` , dus alweer buiten de kubus. Maak verder een tabel.

Op de grensvlakken liggen de punten `(4, 2, 0)` , `(2, 4, 1/2 pi)` , `(0, 2, pi)` , `(2 + 2 cos(4), 2 + 2 sin(4), 4)` .

De lengte van het deel binnen de kubus is `2 sqrt(20)` .

Zo'n punt is er niet.

De snelheidsvector van `P` is niet constant.
Op `t=0` is de snelheid van `P` gelijk aan `sqrt(5)` .

Ongeveer `39^@` .

Ja, na `6` seconden.

`Q` beweegt met `sqrt(3)` eenheden per seconde en `P` beweegt met `sqrt(14)` eenheden per seconde.

`sqrt(261)` eenheden.

Dat is alleen de afstand op `t=0` en die is `sqrt(45)` .