Krommen en oppervlakken > Krommen in 3DVoorbeeld 3
Een kromme wordt beschreven door
`x(t) = 8 sin(t)`
,
`y(t) = 8 sin(2t)`
en
`z(t) = 10 + 8 sin(2t)`
met
`0 \le t \le 2pi`
.
Het
`Oxy`
-vlak is het grondvlak,
`z`
is de hoogte boven dit grondvlak.
Leg uit waarom deze kromme een soort van achtbaan voorstelt.
Recht van boven gezien (vanuit de
`z`
-richting) zie je de tweedimensionale kromme:
`(x(t), y(t)) = (8 sin(t), 8 sin(2t))`
.
Dit is voor
`t`
op
`[0, 2pi]`
een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in
het
`Oxy`
-vlak.
In de
`z`
-richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude
`8`
en evenwichtsstand
`z = 10`
.
Is dat een achtbaan of niet...?
De kromme waarvan je in
Welke waarden kunnen , en aannemen?
Welke parametervoorstelling heeft de projectie van deze kromme op het -vlak (het bovenaanzicht dus)?
Teken (in GeoGebra?) de kromme die bij deze projectie hoort.
Laat zien dat de projectie een is die symmetrisch is t.o.v. de oorsprong van het assenstelsel.
Licht nu toe waarom hier sprake is van een achtbaan.
Bereken de hoogste punten van deze achtbaan en bereken de snelheid in die punten.
Bereken in deze hoogste punten ook de hoek die de baan op dat moment met het horizontale -vlak maakt.
Op welke momenten bereikt een punt dat deze achtbaan doorloopt zijn hoogste snelheid?
Bereken de totale lengte van de achtbaan.