Met `P(x(t), y(t))` beschrijf je hoe de coördinaten van een punt in een `Oxy` -vlak veranderen met de tijd `t` . Je krijgt dan een kromme in twee dimensies, `x` en `y` .
Is het `Oxy` -vlak als grondvlak op te vatten en kun je tegelijkertijd het punt omhoog en/of omlaag bewegen, dan heb je behalve `x(t)` en `y(t)` ook een functie `z(t)` nodig. Die laatste functie legt dan vast hoe hoog het punt boven het `Oxy` -vlak zit. Je krijgt nu een kromme in drie dimensies.
Hier zie je een voorbeeld van zo'n 3D-kromme: als de cirkel gelijkmatig omhoog beweegt
en tegelijk de rode punt op de cirkel langzaam draait om de verticale as, ontstaat
(een stukje van) een Archimedische schroeflijn.
Er geldt:
`(x, y, z)=(3cos(t), 3sin(t), 3/(2 pi) t)`
.
Wanneer je de 3D-kromme recht van boven (in de
`z`
-richting) bekijkt zie je de 2D-kromme
`(x, y)=(3cos(t), 3sin(t))`
, een cirkel.
Bekijk je de 3D-kromme precies vanuit de
`y`
-richting, zie je
`(x, z)=(3cos(t), 3sin(t))`
, een sinusoïde om de
`z`
-as.
Bekijk de
Maak om te beginnen een tabel met waarden voor , en als .
Teken vervolgens een ruimtelijk -assenstelsel met de punten uit je tabel er in. Probeer nu zelf de schroeflijn te tekenen.
Bekijk van boven (dus langs de -as naar beneden) op de schroeflijn. Wat zie je?
Kijk je van boven, dan speelt de -waarde geen rol. Laat zien dat de kromme dan een cirkel is en stel een vergelijking van die cirkel op.
Kijk nu langs de -as naar de kromme. Wat zie je?
Bij kijken langs de -as speelt de -waarde geen rol. Nu is een functie van . Welk functievoorschrift hoort daar bij?
Beschrijf zo ook met een formule de kromme die je ziet als je langs de -as kijkt.
Bekijk de schroeflijn uit de voorgaande opgave nog eens.
Hoe kun je het snijpunt van deze kromme met het vlak berekenen?
Bereken de snijpunten van de schroeflijn met het vlak . Waarom zijn het er oneindig veel?
Een rechte lijn heeft vectorvoorstelling `((x),(y),(z)) = ((0),(2),(4)) + t * ((3),(2),(1))` .
Welke parametervoorstelling heeft deze lijn?.
Teken in een assenstelsel met een kubus met ribben van (zie figuur hiernaast).
In welke punten snijdt de kubus?
Stel je voor dat de beweging van punt in het assenstelsel beschreven wordt door deze rechte lijn. is de tijd in seconden.
Welke waarden kan aannemen voor de punten die binnen de kubus liggen?
Hoe lang is het gedeelte van dat binnen de kubus ligt?
Hoe lang bevindt zich binnen de kubus? Met welke snelheid beweegt ?
Een punt beweegt met een constante snelheid en richting in een driedimensionaal rechthoekig -assenstelsel. Op bevindt zich in en op in .
Waar zit op ? En op ?
Geef een parametervoorstelling van de baan van .
Hoe groot is de snelheid waarmee beweegt?
Welke vector is de snelheidsvector van ? Wat is het verschil tussen de snelheid en de snelheidsvector?
Laat zien dat de snelheidsvector is.
Een ander punt doorloopt de baan beschreven door .
Botsen de punten `P` en `Q` op elkaar?
Hebben de banen van deze punten een snijpunt?