Krommen en oppervlakken > Krommen in 3D
123456Krommen in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop
Afspeelbaar met schuifbalk

Met `P(x(t), y(t))` beschrijf je hoe de coördinaten van een punt in een `Oxy` -vlak veranderen met de tijd `t` . Je krijgt dan een kromme in twee dimensies, `x` en `y` .

Is het `Oxy` -vlak als grondvlak op te vatten en kun je tegelijkertijd het punt omhoog en/of omlaag bewegen, dan heb je behalve `x(t)` en `y(t)` ook een functie `z(t)` nodig. Die laatste functie legt dan vast hoe hoog het punt boven het `Oxy` -vlak zit. Je krijgt nu een kromme in drie dimensies.

Hier zie je een voorbeeld van zo'n 3D-kromme: als de cirkel gelijkmatig omhoog beweegt en tegelijk de rode punt op de cirkel langzaam draait om de verticale as, ontstaat (een stukje van) een Archimedische schroeflijn.
Er geldt: `(x, y, z)=(3cos(t), 3sin(t), 3/(2 pi) t)` .

Wanneer je de 3D-kromme recht van boven (in de `z` -richting) bekijkt zie je de 2D-kromme `(x, y)=(3cos(t), 3sin(t))` , een cirkel.
Bekijk je de 3D-kromme precies vanuit de `y` -richting, zie je `(x, z)=(3cos(t), 3sin(t))` , een sinusoïde om de `z` -as.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg . Bekijk minstens één winding van een (Archimedische) schroeflijn.

a

Maak om te beginnen een tabel met waarden voor x , y en z als t = 0 , 1 4 π , 1 2 π , π , ... , 2 π .

b

Teken vervolgens een ruimtelijk x y z -assenstelsel met de punten uit je tabel er in. Probeer nu zelf de schroeflijn te tekenen.

c

Bekijk van boven (dus langs de z -as naar beneden) op de schroeflijn. Wat zie je?

d

Kijk je van boven, dan speelt de z -waarde geen rol. Laat zien dat de kromme dan een cirkel is en stel een vergelijking van die cirkel op.

e

Kijk nu langs de y -as naar de kromme. Wat zie je?

f

Bij kijken langs de y -as speelt de y -waarde geen rol. Nu is x een functie van z . Welk functievoorschrift hoort daar bij?

g

Beschrijf zo ook met een formule de kromme die je ziet als je langs de x -as kijkt.

Opgave 2

Bekijk de schroeflijn uit de voorgaande opgave nog eens.

a

Hoe kun je het snijpunt van deze kromme met het vlak z = 2 berekenen?

b

Bereken de snijpunten van de schroeflijn met het vlak x = y . Waarom zijn het er oneindig veel?

Opgave 3

Een rechte lijn l heeft vectorvoorstelling `((x),(y),(z)) = ((0),(2),(4)) + t * ((3),(2),(1))` .

a

Welke parametervoorstelling heeft deze lijn?.

b

Teken l in een assenstelsel met een kubus met ribben van 6 (zie figuur hiernaast).

c

In welke punten snijdt l de kubus?

Stel je voor dat de beweging van punt P in het assenstelsel beschreven wordt door deze rechte lijn. t is de tijd in seconden.

d

Welke waarden kan t aannemen voor de punten P die binnen de kubus liggen?

e

Hoe lang is het gedeelte van l dat binnen de kubus ligt?

f

Hoe lang bevindt P zich binnen de kubus? Met welke snelheid beweegt P ?

Opgave 4

Een punt P beweegt met een constante snelheid en richting in een driedimensionaal rechthoekig O x y z -assenstelsel. Op t = 0 bevindt P zich in ( 7 , 0 , 4 ) en op t = 1 in ( 7 , 1 , 3 ) .

a

Waar zit P op t = 10 ? En op t = - 2 ?

b

Geef een parametervoorstelling van de baan van P .

c

Hoe groot is de snelheid waarmee P beweegt?

d

Welke vector is de snelheidsvector van P ? Wat is het verschil tussen de snelheid en de snelheidsvector?

e

Laat zien dat de snelheidsvector v = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) ) is.

Een ander punt Q doorloopt de baan beschreven door ( x , y , z ) = ( 9 + t , 6 + 2 t , 6 + 2 t ) .

f

Botsen de punten `P` en `Q` op elkaar?

g

Hebben de banen van deze punten een snijpunt?

verder | terug