Nu heb je alleen met `x(t)` en `y(t)` te maken. Die twee formule vormen de parametervoorstelling van een cirkel in het `Oxy` -vlak.
Een rondje waarin je twee keer op en neer gaat.
Zie tabel.
`t` | `0` | `1/4 pi` | `1/2 pi` | `3/4 pi` | `pi` | `1 1/4 pi` | `1 1/2 pi` | `1 3/4 pi` | `2pi` |
`x` | `3` | `1 1/2 sqrt2` | `0` | `text(-)1 1/2 sqrt2` | `0` | `text(-)1 1/2 sqrt2` | `text(-)3` | `1 1/2 sqrt2` | `3` |
`y` | `0` | `1 1/2 sqrt2` | `3` | `0` | `text(-)3` | `text(-)1 1/2 sqrt2` | `0` | `text(-)1 1/2 sqrt2` | `0` |
`z` | `0` | `3/8` | `3/4` | `9/8` | `1 1/2` | `15/8` | `9/4` | `21/8` | `3` |
Doen, het wordt nog een heel gepruts!
Een cirkel met straal `3` en middelpunt `O(0, 0)` .
`x^2+y^2=9`
Een sinusoïde.
`x = 3 cos(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `x = 3 cos((2pi)/3 z)` .
`y = 3 sin(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `y = 3 sin((2pi)/3 z)` .
`3/(2pi) t = 2` geeft `t = (4pi)/3` en dus `x = text(-)1,5` en `y = 1,5sqrt3` . Dus `(text(-)1,5; 1,5sqrt3; 2)` .
`3 cos(t) = 3 sin(t)`
geeft
`tan(t) = 1`
dus
`t = 1/4 pi + k * pi`
.
Dus snijpunten
`(1 1/2 sqrt2, 1 1/2 sqrt2, 3/8 + k * 1 1/2)`
en
`(text(-)1 1/2 sqrt2, text(-)1 1/2 sqrt2, 5/8 + k * 1 1/2)`
.
`x = 3t` , `y = 2 + 2t` en `z = 4 + t` .
Een lijn door `(0, 2, 4)` en `(3, 4, 5)` .
Er zijn snijpunten met elk grensvlak van de kubus, maar die liggen vaak buiten de kubus. De enige die op de kubus liggen zijn `(0, 2, 4)` en `(6, 6, 6)` .
Bij `(6, 6, 6)` hoort `t=2` en bij `(0, 2, 4)` hoort `t=0` , dus `0 \le t \le 2` .
`sqrt(6^2 + 4^2 + 2^2) =sqrt(56)`
Het punt zit
`2`
seconden binnen de kubus.
Elke seconde legt het de vector
`1/2 ((6),(4),(2)) = ((3),(2),(1))`
af, dus de snelheid is
`sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt14`
m/s.
P.v. is
`x = 7`
,
`y = t`
en
`z = 4 - t`
. (Eerst de vraag bij b beantwoorden, dan gaat die bij a gemakkelijker, hoewel het
ook anders kan.)
`t=10`
geeft het punt
`(7, 10, text(-)6)`
.
`t=text(-)2`
geeft het punt
`(7, text(-)2, 6)`
.
Zie a.
`sqrt(0^2 + 1^2 + (text(-)1)^2) = sqrt(2)` m/s.
`vec(v) = ((0),(1),(text(-)1))` . De snelheidsvector heeft lengte en ook richting. De snelheid is de lengte van de snelheidsvector.
Differentieer `x(t)` , `y(t)` en `z(t)` .
Dat is zo als `7 = 9 + t ^^ t = 6 + 2t ^^ 4 - t = 6 + 2t` . Er is geen enkele waarde van `t` die aan alle drie deze vergelijkingen voldoet. Ze botsen dus niet.
Nu moet je oplossen
`7 = 9 + t ^^ s = 6 + 2t ^^ 4 - s = 6 + 2t`
. De waarden
`s=2`
en
`t=text(-)2`
voldoen aan alle drie de vergelijkingen.
Dus er is een snijpunt, namelijk
`(7, 2, 2)`
.
Een vergelijking in `x` , `y` en `z` beschrijft een plat vlak of een gebogen oppervlak in de ruimte, want zo'n vergelijking maakt het in principe mogelijk om bij elke set waarden `x` en `y` een `z` -waarde te vinden. En bij een lijn kan dat niet.
Kijk je van boven op het `xy` -vlak, dan zie je `(x, y) = (3cos(t), 3sin(t))` en dat is de p.v. van een cirkel. En verder ga je al draaiend in de `z` -richting langzaam en gelijkmatig omhoog.
Doen, vergelijk jouw antwoord met het voorbeeld.
Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (2 cos(t), 2 sin(t), 3/(2pi)t)` .
Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (2 cos(t), 2 sin(t), 6/(2pi)t)` .
Bijvoorbeeld `(x, y, z) = (t, 2 cos(t), 2 sin(t))` .
Omdat de schroeflijn om de
`z`
-as altijd de gedaante
`(x, y, z) = (a cos(ct), a sin(ct), bt)`
heeft en de snelheidsvector is dan
`(x', y', z') = (text(-)ac sin(ct), ac cos(ct), b)`
. De lengte hiervan is
`sqrt(a^2c^2 + b^2)`
want
`sin^2(ct) + cos^2(ct) = 1`
.
Voor schroeflijnen om andere assen vind je iets vergelijkbaars.
Nee, die hangt af van `t` .
Bijvoorbeeld door (in de p.v. van a) zowel `b` als `c` twee keer zo groot te maken. Alleen wordt dan ook de spoed groter. Je kunt ook `4a^2c^2 + 4b^2 = p^2a^2c^2 + b^2` oplossen voor `p` : `p = sqrt(4 + 3(b/ac)^2)` en dan in de p.v. `c` vervangen door `pc` .
`x = 0,5pi`
geeft
`(x', y', z') = (text(-)3, 0, 3/(2pi))`
en als raaklijnvector
`((text(-)3),(0),(3/(2pi)))`
.
Het raakpunt is
`(x,y,z) = (0, 3, 3/4)`
, dus de raaklijn is
`((x),(y),(z)) = ((0),(3),(3/4)) + q * ((text(-)3),(0),(3/(2pi)))`
.
De `y` -as heeft richtingsvector `((0),(1),(0))` en het inproduct van de richtingsvectoren is `0` . De hoek is daarom `90^@` .
`z = 0` geeft `q = text(-)0,5pi` , dus het snijpunt is `(1,5pi; 3; 0)` . Het `xy` -vlak heeft normaalvector `((0),(0),(1))` en de hoek van deze vector met de richtingsvector van de raaklijn kun je met behulp van het inproduct van beide uitrekenen: `varphi ~~ 81^@` . De gevraagde hoek is daarom ongeveer `9^@` .
Als `t = 0` , dus in het punt `(0, 2, 0)` .
Als `t = 81` .
Je ziet dan een rechte lijn met p.v. `(x, y) = (t, t+2)` en dus vergelijkingen `y = x + 2 ^^ z = 0` .
Je ziet dan de kromme `(y, z) = (t+2, sqrt(t))` en met vergelijkingen `z = (y - 2)^2 ^^ x = 0` .
`vec(v) = ((1), (1), (1/(2sqrt(t))))`
`z = 9` geeft `t = 81` en dus `vec(v) = ((1), (1), (1/18))` met lengte `|vec(v)|=sqrt(2 1/324)` .
De richtingsvector van het vlak `z = 9` is `((0),(0),(1))` en de hoek met `vec(v)` vind je met behulp van het inproduct een hoek van `88^@` .
`vec(OP) = ((t),(t+2),(sqrt(t)))`
heeft lengte
`L(t) = sqrt(t^2 + (t+2)^2 + t) = sqrt(2t^2 +5t + 4)`
.
Deze lengte is minimaal als
`f(t) = 2t^2 + 5t +4`
minimaal is, dus als
`t = text(-)2,5`
en dat kan niet. Kennelijk is op
`t=0`
de afstand tot
`O`
het kleinst. De kortste afstand is
`2`
.
`x` neemt alle waarden in `[text(-)8, 8]` aan, `y` neemt alle waarden in `[text(-)8, 8]` aan en `z` neemt alle waarden in `[2, 18]` aan.
`(x(t), y(t)) = (8 sin(t), 8 sin(2t))`
In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor `t` en voer in `P = (8 sin(t),8 sin(2t))` . Stel `t` in zodat hij in ieder geval het interval `[0, 2pi]` kan doorlopen en zet van `P` het spoor aan. En dan maar schuiven met de `t` ...
Doen, zie c.
Bij het afleggen van die acht op het `xy` -vlak ga je vanaf `z = 10` (bij `t=0` ) omhoog en omlaag tot je op `t=2pi` (voor de vierde keer) weer op `z=10` uitkomt.
`(x',y',z') = (8 cos(t), 16 cos(2t), 16 cos(2t))`
is de snelheidsvector met een lengte van
`sqrt(64 cos^2(t) + 512 cos^2(2t))`
.
Hoogste punten
`t = 1/4 pi vv t = 1 1/4 pi`
met snelheid
`sqrt288`
lengte-eenheden per tijdseenheid.
Laagste punten
`t = 3/4 pi vv t = 1 3/4 pi`
met snelheid
`sqrt288`
lengte-eenheden per tijdseenheid.
In de hoogste en de laagste punten zijn de hoeken van de snelheidsvector met het `xy` -vlak steeds `0^@` .
De hoogste snelheden treden op bij de momenten dat `z = 10` wordt gepasseerd. Bijvoorbeeld op `t = 0` is de snelheid `sqrt(576)` lengte-eenheden per tijdseenheid.
`L = int_0^(2pi) (v(t))text(d)t = int_0^(2pi) (320 cos^2(t) + 256 cos^2(2t))text(d)t ~~ 1809,56`
Voor `k_1` geldt `(x', y', z') = (1, 2, 1)` , dus een constante richtingsvector.
`P`
op
`k_1`
geeft
`vec(OP) = ((t+1),(2t),(t+3))`
met een lengte van
`L(t) = sqrt((t+1)^2 + 4t^2 + (t+3)^2) = sqrt(6t^2 + 8t + 10)`
.
Kortste afstand als
`6t^2 + 8t + 10`
minimaal is, dus als
`t = text(-) 2/3`
. De kortste afstand is
`sqrt(7 1/3)`
.
Dit kun je ook oplossen door meetkundig de afstand van
`O`
tot lijn
`k_1`
uit te rekenen: loodlijn erop, etc.
Bij het snijpunt hoort `t=1 ^^ s=2` , dus het is `(2, 2, 4)` . Het gaat nu om de hoek tussen beide richtingsvectoren `((1),(2),(1))` en `((1),(1),(4))` . Met het inproduct vind je ongeveer `48^@` .
`((1),(1),(2s))`
// het
`yz`
-vlak betekent
`x' = 1 = 0`
, dus dat kan niet. Dus er bestaat geen punt waarvoor de raaklijn evenwijdig als aan
het
`yz`
-vlak.
`((1),(1),(2s))`
// het
`xy`
-vlak betekent
`z' = 2s = 0`
, dus dat is het geval als
`s=0`
. Dus in
`(0, 0, 0)`
.
Doen.
`(0, 0, 0)` en `(sqrt(6), sqrt(6), 6)` .
`k_1` heeft de punten `(1, 0, 3)` en `(4, 6, 6)` met de kubus gemeen. De afstand tussen deze punten is `sqrt(54)` .
`t=0` geeft `(0, 0, 4)` .
`x` neemt alle waarden uit `[0, rarr:)` aan, `y` en `z` nemen alle waarden uit `[text(-)4, 4]` aan.
De projectie op het `yz` -vlak is de cirkel `(y, z) = (4 sin(t), 4 cos(t))` . De kromme is een schroeflijn op een cilinder met de `x` -as als as.
In `0 \le t \le 2pi` wordt een complete omwenteling afgelegd. De lengte van de kromme is `sqrt((4pi)^2 + (8pi)^2) = pi sqrt(80)` .
`x = 4`
betekent
`t=2`
. De kromme heeft daar een raaklijnvector van
`((2),(4 cos(2)),(text(-)4 sin(2)))`
.
Het vlak heeft normaalvector
`((1),(0),(0))`
. De hoek tussen deze normaalvector en de raaklijnvector van de kromme is ongeveer
`63^@`
. De gevraagde hoek is
`27^@`
.
`sqrt(2^2 + (4 cos(2))^2 + (text(-)4 sin(2))^2)=sqrt(36)=6`
Met het
`yz`
-vlak:
`x = 0`
dus het punt
`(0, 0, 1)`
.
Met het
`xz`
-vlak:
`y = 0`
dus het punt
`(0, 0, 1)`
en het punt
`(2, 0, text(e))`
.
Met het
`xy`
-vlak:
`z = 0`
dus geen snijpunt.
`(x',y',z') = (2, 2t - 1, text(e)^t)`
.
Evenwijdig met het
`yz`
-vlak:
`x' = 0`
dus geen punt waar dit zo is.
Evenwijdig met het
`xz`
-vlak:
`y' = 0`
dus het punt
`(1, text(-) 1/4, sqrt(text(e)))`
.
Evenwijdig met het
`xy`
-vlak:
`z' = 0`
dus geen punt waar dit zo is.
Het bedoelde punt is `(0, 0, 1)` . De richtingsvector van de `z` -as is `((0),(0),(1))` en de raaklijnvector van de kromme is in dat punt `((2),(text(-)1),(1))` . De gevraagde hoek is ongeveer `66^@` .
Een p.v. van de baan van
`P_1`
is
`(x, y, z) = (2t, 4t, 6)`
.
Beide punten botsen als
`t^2 - 0,25 = 6`
, dus als
`t = 2,5`
(de negatieve waarde vervalt, we beginnen op
`t=0`
).
Het botsingspunt is dus
`(5, 10, 6)`
.
De snelheid van `P_1` is `sqrt(2^2+4^2+6^2) = sqrt(56)` .
De snelheid van `P_2` is `sqrt(2^2+4^2+5^2) = sqrt(45)` .
Het gaat om de hoek tussen
`((2),(4),(0))`
en
`((2),(4),(5))`
.
Even hun inproduct berekenen en je vindt
`~~48^@`
.
`x = 0 ^^ y = 0` geeft `t = 4pi` , dus het punt is `(0, 0, 8pi)` .
`x = 0`
geeft
`t = k*pi`
en dus de punten
`(0, 4pi, 0)`
,
`(0, 3pi, 2pi)`
,
`(0, 2pi, 4pi)`
,
`(0, pi, 6pi)`
en
`(0, 0, 8pi)`
.
De projectie wordt een sinusoïde waarvan de amplitude steeds kleiner wordt.
De p.v. is
`(y, z) = ((4pi - t) cos(t), 2t))`
en een bijbehorende vergelijking is
`y = (4pi - 0,5z) cos(0,5z)`
.
In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor
`t`
en voer in
`Q = ((4pi - t) sin(t), (4pi - t) cos(t))`
. Stel
`t`
in zodat hij in ieder geval het interval
`[0,2pi]`
kan doorlopen en zet van
`Q`
het spoor aan. En dan maar schuiven met de
`t`
...
Je zou een spiraal moeten krijgen.
`|vec(OR)| = sqrt((4pi - t)^2 + 4t^2) = sqrt(16pi^2 - 8pi t + 5t^2)`
Een beetje algebra geeft
`v = sqrt((4pi - t)^2 + t^2 + 4)`
.
Op
`t=0`
is
`v = sqrt(16pi^2 + 4)`
.
`f(t) = (4pi - t)^2 + t^2 + 4 = 2t^2 - 8pi t + 16pi^2 + 4` heeft een minimum als `t = 2pi` . De minimumsnelheid is `sqrt(8pi^2 + 4)` .
De raaklijnvector is
`((text(-)t sin(t) + (4pi - t)cos(t)),(text(-)t cos(t) - (4pi - t)sin(t)),(2))`
.
In het punt op de
`z`
-as is
`t = 4pi`
. De raaklijnvector in dat punt is
`((0),(text(-)4pi),(2))`
. De
`z`
-as heeft richtingsvector
`((0),(0),(1))`
. Met het inproduct vind je de gewenste hoek van ongeveer
`81^@`
.
`L = int_0^(4pi) v(t)text(d)t = int_0^(2pi) sqrt((4pi - t)^2 + t^2 + 4) text(d)t ~~ 130,6`
De schroeflijn begint in `(4, 2, 0)` en is na één omwenteling in `(4, 2, 2pi)` , dus alweer buiten de kubus. Maak verder een tabel.
Op de grensvlakken liggen de punten `(4, 2, 0)` , `(2, 4, 1/2 pi)` , `(0, 2, pi)` , `(2 + 2 cos(4), 2 + 2 sin(4), 4)` .
De lengte van het deel binnen de kubus is `2 sqrt(20)` .
Zo'n punt is er niet.
De snelheidsvector van
`P`
is niet constant.
Op
`t=0`
is de snelheid van
`P`
gelijk aan
`sqrt(5)`
.
Ongeveer `39^@` .
Ja, na `6` seconden.
`Q` beweegt met `sqrt(3)` eenheden per seconde en `P` beweegt met `sqrt(14)` eenheden per seconde.
`sqrt(261)` eenheden.
Dat is alleen de afstand op `t=0` en die is `sqrt(45)` .