Krommen en oppervlakken > Krommen in 3D
123456Krommen in 3D

Verwerken

Opgave 9

Gegeven zijn de krommen k 1 : ( x , y , z ) = ( t + 1 , 2 t , t + 3 ) en k 2 : ( x , y , z ) = ( s , s , s 2 ) .

a

Leg uit waarom k 1 een rechte lijn is.

b

Bereken de kortste afstand van k 1 tot de oorsprong O van het assenstelsel.

c

Bereken de hoek waaronder beide krommen elkaar snijden.

d

Heeft k 2 een raaklijn evenwijdig aan het y z -vlak? En aan het x y -vlak?

e

Teken de kubus O A B C . D E F G met A ( 6 , 0 , 0 ) . Teken in die kubus de delen van k 1 en k 2 die erbinnen liggen.

f

k 2 heeft twee punten met de kubus gemeen. Bereken de coördinaten van die twee punten.

g

Hoe lang is het gedeelte van k 1 dat binnen de kubus ligt?

Opgave 10

De schroeflijn s is gegeven door de parametervoorstelling ( x , y , z ) = ( 2 t , 4 sin ( t ) , 4 cos ( t ) ) met t 0 .

a

Welk punt is het beginpunt van deze kromme?

b

Welke waarden kunnen x , y en z aannemen?

c

Waaraan kun je zien dat deze kromme op een cilinder ligt? Welke as heeft die cilinder?

d

Hoe lang is elke omwenteling van de schroeflijn?

e

Welke hoek maakt de schroeflijn met het vlak x = 4 ?

f

Welke snelheid heeft een punt P dat over deze schroeflijn beweegt op het moment dat x = 4 ?

Opgave 11

Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel O x y z de kromme k door ( x , y , z ) = ( 2 t , t 2 - t , e t ) .

a

Bereken de snijpunten van k met de coördinaatvlakken.

b

Bereken de punten van k waarin de raaklijn evenwijdig is met één der coördinaatvlakken.

c

Bereken de hoek waaronder k de z -as snijdt.

Opgave 12

Twee punten bewegen in een driedimensionaal O x y z -assenstelsel. P 1 beweegt volgens een rechte lijn en met een constante snelheid. Op t = 0 bevindt het zich in ( 0 , 0 , 6 ) en op t = 1 in ( 2 , 4 , 6 ) .
De baan van P 2 wordt beschreven door ( x , y , z ) = ( 2 t , 4 t , t 2 - 0,25 ) .
Ook hierin is t de tijd en t 0 .

a

Bereken het punt waarop beide punten tegen elkaar botsen.

b

Hoe groot is de snelheid van P 1 bij de botsing?

c

En hoe groot is de snelheid van P 2 op dat moment?

d

Onder welke hoek botsen de punten op elkaar?

verder | terug