Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders

123456Bollen en cilinders

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Een boloppervlak bestaat uit alle punten `P` die een vaste afstand `r` hebben tot een vast punt `M` . `r` heet de straal en `M` het middelpunt van de bol. Punt `P'` ligt in het `Oxy` -vlak en `PP'` staat loodrecht op dat vlak.

Is `O(0, 0, 0)` het middelpunt van de bol dan geldt voor elk punt `P(x, y, z)` dat `r=|OP|^2=|OP'|^2+|PP'|^2` . En omdat `|OP'|^2=x^2+y^2` en `|PP'|=z` vind je
`x^2+y^2+z^2=r^2` .
Dit is de vergelijking van een bol(oppervlak) met middelpunt `O` en straal `r` .

Je kunt deze vergelijking (net als bij een cirkel) eenvoudig aanpassen voor het geval het middelpunt `M(a, b, c)` is. Het maken van een parametervoorstelling is wat lastiger. Net als bij de vectorvoorstelling van een plat vlak heb je twee parameters nodig.

Ook het cilinderoppervlak heeft een vergelijking en een parametervoorstelling.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg 1. Je ziet een bol $B$ met middelpunt $O (0, 0, 0)$ en straal `3` .

Welke van de volgende punten liggen op het boloppervlak, welke liggen er binnen en welke erbuiten?
$A (2, 2, 1)$ , $B (0, 0, - 3)$ , $C (- 2, 1, - 2)$ , $D (2; 2,5; - 1)$ , $E (\sqrt{8}, 0, 1)$ , $F (- 1,5; 1,5; 1,5)$

Bepaal $a$ zo, dat $G (a, a, a)$ op het boloppervlak ligt.

Voor welke waarden van $a$ ligt $G$ binnen de bol?

Aan welke vergelijking moeten de punten $P (x, y, z)$ voldoen als $P$ op de bol ligt?

Beschrijf de kromme die de doorsnede voorstelt van de bol met het vlak $z = 0$ . Doe hetzelfde voor $z = 1$ , $z = 2$ en $z = 3$ .

Beschrijf ook de doorsnede van de bol met het vlak $y + z = 0$ .

verder | terug