Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders

123456Bollen en cilinders

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Een cilinderoppervlak bestaat uit alle punten `P` die een vaste afstand `r` hebben tot een vaste lijn `a` . `r` heet de straal en `a` de as van de cilinder. Punt `P'` ligt in het `Oxy` -vlak en `PP'` staat loodrecht op dat vlak.

Is de `z` -as de as van de cilinder dan geldt voor elk punt `P(x, y, z)` dat `r^2=|OP'|^2=x^2+y^2` en daarom geldt voor elke `P` :
`x^2+y^2=r^2`
Dit is de vergelijking van een cilinder(oppervlak) met als as de `z` -as en straal `r` .

Je kunt deze vergelijking (net als bij een cirkel) eenvoudig aanpassen voor het geval de as evenwijdig aan de `z` -as en door het punt `M(a, b, c)` gaat. En ook voor het geval de as evenwijdig loopt met één van de andere coördinaatassen.
Het maken van een parametervoorstelling gaat vrij gemakkelijk. Net als bij de vectorvoorstelling van een plat vlak heb je twee parameters nodig.

Opgave 2

De doorsnede van de bol $B$ met het $x y$ -vlak is een cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 9$ .

Teken die cirkel in een rechthoekig $O x y z$ -assenstelsel.

Teken ook alle punten in het vlak $z = 1$ waarvoor geldt $x^{2} + y^{2} = 9$ .

Doe hetzelfde voor de vlakken $z = 2$ , $z = 3$ , $z = 5$ en $z = - 5$ .

Teken de cilinder waar al deze cirkels op liggen. Aan welke vergelijking voldoet elk punt op deze cilinder?

De cilinder die je zojuist hebt getekend heeft de $z$ -as als symmetrieas en straal `3` .

Welke vergelijking heeft een cilinder waarvan de $x$ -as de symmetrieas is en de straal $4$ is?

verder | terug