Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders
123456Bollen en cilinders

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

eenheden.

b

c

als het middelpunt is.

Opgave 1
a

Controleer de afstand van elk punt tot , die moet zijn. Dit geldt alleen voor , , en .

b

geeft .

c

Als .

d

e

Met : is een cirkel in dit vlak met straal .
Met : is een cirkel in dit vlak met straal .
Met : is een cirkel in dit vlak met straal .
Met : is een cirkel in dit vlak met straal , dus gewoon het punt .

f

geeft . Dit lijkt een ellips, maar pas op met 3D: het is een cirkel in het vlak .

Opgave 2
a

Doen.

b

Alweer een cirkel met straal , maar nu iets hoger.

c

Steeds een cirkel met straal , maar op verschillende hoogtes.

d

Voor elk punt op de cilinder geldt .

e

Opgave 3
a

en .

b

c

Opgave 4
a

Omdat de normaalvector van een raakvlak in de vector is ( is daarin het bolmiddelpunt).

b

Doe zelf dit voorbeeld even uitgebreid.

c

Kwadraat afsplitsen geeft . Dit is een cilinder met een as evenwijdig aan de -as en door en straal .

d

Eerst checken of op de cilinder ligt, dat is het geval!
Normaalvector raakvlak (bovenaanzicht bekijken/tekenen) is , dus vergelijking vlak .

e

Dat raakvlak gaat door , dus vergelijking .

f

Bijvoorbeeld als raakt aan , dus als één oplossing voor heeft. Dit betekent en dus .

Opgave 5
a

en dat klopt.

b

Een schroeflijn over het cilinderoppervlak, want bij toenemende draait niet alleen het punt, maar het gaat tegelijk ook omhoog.

c

Zowel als lopen bijvoorbeeld van tot .

d

en en hieruit volgt en . De -waarde is .

e

Invullen en gebruik maken van .

Opgave 6
a

Vergelijking: .
P.v.: .

b

Bereken eerst de afstand van tot : (loodlijn opstellen, snijden met het vlak, afstand tot snijpunt opstellen). De vergelijking van de bol is dus .
P.v.: .

c

Vergelijking: .
P.v.: .

d

Het middelpunt is en de straal is , dus de vergelijking is .
P.v.: .

Opgave 7
a

Doen. In het -vlak krijg je (een ellips). In het -vlak krijg je (een ellips). In het -vlak krijg je (een cirkel met straal ).

b

Zie a.

c

Laat zien dat als op de ellipsoïde dan ook op de ellipsoïde.

d

, en .

e

en de parametervoorstelling is .

Opgave 8
a

Bol, even kwadraat afsplitsen: , dus en .

b

Cilinder met straal en as door en evenwijdig aan de .

c

Cilinder, even kwadraat afsplitsen: . Dus straal en een as evenwijdig aan de -as door .

d

Bol met straal en .

Opgave 9
a

Doen, de bol heeft middelpunt en straal .

b

Middelpunt is en de straal is . Dus de vergelijking is .

c

Middelpunt is en de straal is . Dus de vergelijking is .

d

e

(bovenaanzicht maken).

f

Dit vraagt om een meetkundige oplossing. Hier zie je een bovenaanzicht, het gaat om de lengte van . Je ziet dat en . Verder is . Omdat de twee driehoeken en gelijkvormig zijn, kun je berekenen dat en . Hiermee kun je en berekenen. Dus .

Opgave 10
a

en geeft vergelijking .

b

De bol moet raken aan het vlak . en , dus en . Middelpunt en straal geeft .

Opgave 11
a

Middelpunt en straal geeft .

b

Neem in de vergelijking en je vindt . Dit is een cirkel met straal . Hierbij is en dus .

c

geeft . Je hebt hier te maken met een cirkel in het vlak en vergelijking . Dit is ook de vergelijking van de cilinder met as evenwijdig aan de -as die precies om de bol past.

d

Het raakpunt is . De normaalvector van het raakvlak is . Dus het vlak heeft vergelijking (coördinaten van invullen).

e

invullen in de bolvergelijking geeft . Dus en . Het raakvlak in heeft normaalvector en het raakvlak in heeft normaalvector . De hoek tussen beide vlakken is gelijk aan de hoek tussen beide normaalvectoren. En die bereken je met behulp van het inproduct. Je vindt °.

Opgave 12
a

Teken een aanzicht van de cilinder in de richting van de as. Daarin zie je een cirkel met lijnstuk , waarin de loodrechte projectie van op vlak is. Daarin is .
Is het midden van de cirkel in het aanzicht en het midden van , dan is de straal .

b

Ook dit moet je via het aanzicht meetkundig oplossen. De bedoelde raakvlakken zie je dan als raaklijnen aan de cirkel die loodrecht staan op de stralen en . De gevraagde hoek is en met goniometrie kun je ° berekenen. De hoek tussen beide raakvlakken is °.

Opgave 13
a

Vergelijking herleiden tot geeft een cilinder met as evenwijdig aan de -as door en straal .

b

Bol met middelpunt en straal .

c

Vergelijking herleiden tot dus dit is niks, een bol met straal kan niet. (Imaginaire bol???)

d

Cilinder met as evenwijdig aan de -as door en een straal van .

Opgave 14
a

Teken een aanzicht in de richting van de -as, je ziet dan driehoek waarin het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt van de bol is. Dit snijpunt kun je bereken met goniometrie, of met vergelijkingen van de middelloodlijnen.
Je vindt en een straal van . De vergelijking van de bol is .

b

In snijpunt is de normaalvector van het raakvlak en de richtingsvector van lijn is . De hoek hiertussen is °. De gevraagde hoek is daarom ongeveer .

c

d

Hier kan een analytische oplossing (vectorvoorstelling invullen in vergelijking cilinder en zo berekenen).
Hier kan ook een meetkundige oplossing (in een bovenaanzicht werken met verhoudingen). Je vindt . En dus is .

verder | terug