Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders
123456Bollen en cilinders

Voorbeeld 2

Gegeven is de cilinder .
Stel hierbij een parametervoorstelling op.

> antwoord

De parametervoorstelling van een cilinder lijkt veel op de parametervoorstelling van een cirkel. Je werkt met een draaihoek net als bij de cirkel en je gebruikt een verschuiving .

Bij deze cilinder kies je als draaihoek (in radialen) de hoek die met de positieve -as maakt.
De verschuiving is de vector .
Je kunt nu de coördinaten van elk punt op de cilinder beschrijven door:
, en .

De parametervoorstelling van deze cilinder is dus .
Hierbij is en kan alle waarden aannemen.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 wordt een parametervoorstelling van een cilinder opgesteld.

a

Laat zien, dat x = 3 cos ( u ) , y = 3 sin ( u ) en z = v voldoen aan de gegeven vergelijking van de cilinder.

b

Welke kromme ontstaat er als je v = u neemt?

Je kunt ook voor een bol een parametervoorstelling maken. Daarvoor kunnen als parameters de hoeken u = R O Q en v = Q O P worden gebruikt. Hierin is Q R loodrecht op de x -as en P Q loodrecht op het x y -vlak. De bol heeft middelpunt O en straal r .

c

Welke waarden moeten u en v aannemen om een complete bol te beschrijven?

d

Laat zien, dat x = r cos ( u ) cos ( v ) , y = r sin ( u ) cos ( v ) en z = r sin ( v ) .

e

Toon aan dat de bij b gevonden uitdrukkingen voor x , y en r voldoen aan de bolvergelijking x 2 + y 2 + z 2 = r 2 .

Opgave 6

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van het oppervlak V dat hieronder wordt beschreven.

a

V is een cilinder met de y -as als as die door P ( 3 , 4 , 5 ) gaat.

b

V is een bol met middelpunt O die het vlak x + y + z = 6 raakt.

c

V is een cilinder met een as door ( 4 , 4 , 0 ) die zowel het x z -vlak als het y z -vlak raakt.

d

V is een bol door de punten A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 2 , 0 ) , C ( 2 , 2 , 2 ) en D ( 0 , 2 , 2 ) .

verder | terug