Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders

123456Bollen en cilinders

Voorbeeld 2

Gegeven is de cilinder `x^2+y^2=9` .
Stel hierbij een parametervoorstelling op.

> antwoord

De parametervoorstelling van een cilinder lijkt veel op de parametervoorstelling van een cirkel. Je werkt met een draaihoek `u` net als bij de cirkel en je gebruikt een verschuiving `v` .

Bij deze cilinder kies je als draaihoek (in radialen) de hoek `u` die `OP'` met de positieve `x` -as maakt.
De verschuiving `v` is de vector `vec(P'P)` .
Je kunt nu de coördinaten van elk punt `P` op de cilinder beschrijven door:
`x=3cos(u)` , `y=3sin(u)` en `z=v` .

De parametervoorstelling van deze cilinder is dus `(x, y, z)=(3cos(u), 3sin(u), v)` .
Hierbij is `0\le u\le 2pi` en kan `v` alle waarden aannemen.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 wordt een parametervoorstelling van een cilinder opgesteld.

Laat zien, dat $x = 3 \cos (u)$ , $y = 3 \sin (u)$ en $z = v$ voldoen aan de gegeven vergelijking van de cilinder.

Welke kromme ontstaat er als je $v = u$ neemt?

Je kunt ook voor een bol een parametervoorstelling maken. Daarvoor kunnen als parameters de hoeken $u = ∠ R O Q$ en $v = ∠ Q O P$ worden gebruikt. Hierin is $Q R$ loodrecht op de $x$ -as en $P Q$ loodrecht op het $x y$ -vlak. De bol heeft middelpunt $O$ en straal $r$ .

Welke waarden moeten $u$ en $v$ aannemen om een complete bol te beschrijven?

Laat zien, dat $x = r \cos (u) \cos (v)$ , $y = r \sin (u) \cos (v)$ en $z = r \sin (v)$ .

Toon aan dat de bij b gevonden uitdrukkingen voor $x$ , $y$ en $r$ voldoen aan de bolvergelijking $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ .

Opgave 6

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van het oppervlak $V$ dat hieronder wordt beschreven.

$V$ is een cilinder met de $y$ -as als as die door $P (3, 4, 5)$ gaat.

$V$ is een bol met middelpunt $O$ die het vlak $x + y + z = 6$ raakt.

$V$ is een cilinder met een as door $(4, 4, 0)$ die zowel het $x z$ -vlak als het $y z$ -vlak raakt.

$V$ is een bol door de punten $A (2, 0, 0)$ , $B (2, 2, 0)$ , $C (2, 2, 2)$ en $D (0, 2, 2)$ .

verder | terug