Krommen en oppervlakken > Bollen en cilinders
123456Bollen en cilinders

Voorbeeld 3

Een oppervlak wordt ten opzichte van een rechthoekig -assenstelsel beschreven door
.
Leg uit waarom dit oppervlak wel een ellipsoïde wordt genoemd.

> antwoord

Om deze vraag te kunnen beantwoorden heb je een voorstelling van het oppervlak nodig. Aanzichten helpen daarbij.

Recht van boven gezien (vanuit de -richting) zie je de tweedimensionale kromme:
.
Dit kun je schrijven als x 2 4 + y 2 16 = 1 .
En deze kromme is een ellips door de punten , , en .
Ga dat na...

En zo kun je het oppervlak ook vanuit de -richting en de -richting bekijken.
Je ontdekt dat het oppervlak kan ontstaan door de ellips in het -vlak te wentelen om de -as. En daarmee verklaar je de naam "ellipsoïde" als omwentelingsellips.

Opgave 7

Het oppervlak waarvan je in Voorbeeld 3 een vergelijking ziet heet een ellipsoïde.

a

Teken in een rechthoekig O x y z -assenstelsel de drie doorsnedes van dit oppervlak met de coördinaatvlakken.

b

Leg uit waarom het oppervlak kan worden gezien als een ellips die om de y -as wordt gewenteld.

c

Bewijs de symmetrie van deze ellipsoïde t.o.v. de y -as.

Ook van zo'n ellipsoïde kun je een parametervoorstelling maken.

d

Kies twee geschikte parameters en geef een bijpassende parametervoorstelling.

e

Stel een vergelijking op van de ellipsoïde met centrum O die door A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) en C ( 0 , 0 , 6 ) gaat en waarvan de x -as, de y -as en de z -as symmtrieassen zijn. Maak er ook een parametervoorstelling bij.

verder | terug