Krommen en oppervlakken

Krommen en oppervlakken > Kegels en kegelsneden

Overzicht

123456Kegels en kegelsneden

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Gegeven is de kegel `x^2+y^2=0,25z^2` .
Stel hierbij een parametervoorstelling op.

> antwoord

De parametervoorstelling van een kegel lijkt veel op de parametervoorstelling van een cirkel. Je werkt met een draaihoek `u` net als bij de cirkel en je gebruikt een verschuiving `v` .

Bij deze kegel kies je als draaihoek (in radialen) de hoek `u` die lijnstuk `OP'` met de positieve `x` -as maakt.
De verschuiving `v` is de vector `vec(P'P)` die een hoek `varphi` met de `z` -as maakt, waarvoor geldt `tan^2(varphi)=0,25` , dus `tan(varphi)=0,5` .
Je kunt nu de coördinaten van elk punt `P` op de kegel beschrijven door:
`x = 0,5 v cos(u)` , `y = 0,5 v sin(u)` en `z=v` .

De parametervoorstelling van de kegel is
`(x, y, z) = (0,5 v cos(u); 0,5 v sin(u); v)` .
Hierbij is `0\le u\le 2pi ` en kan `v` alle waarden aannemen.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 wordt een parametervoorstelling van een kegel met een gegeven vergelijking opgesteld.

Hoe groot is de halve tophoek $φ$ ? Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

Licht toe, dat `|vec(OP')| = 1/2 v sqrt(2)` .

Leid zelf de parametervoorstelling van de kegel af.

Laat zien, dat de gevonden parametervoorstelling ook aan de gegeven vergelijking voldoet.

Geef een parametervoorstelling van de kegel $x^{2} + y^{2} = z^{2} \tan^{2} (φ)$ .

Opgave 6

Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de kegel $K$ die hieronder wordt beschreven.

$K$ heeft $y$ -as als as, top $T (0, - 2, 0)$ en gaat door $P (3, 4, 5)$ .

$K$ heeft de lijn $a$ door $A (2, 4, 0)$ en $B (2, 4, 6)$ als as en een halve tophoek van $φ = \frac{1}{4} π$ .

$K$ heeft de lijn $a$ door $A (2, 4, 0)$ en $B (2, 4, 6)$ als as en raakt het vlak $x + y + z = 6$ .

verder | terug