`5 * tan(1/6 pi) = 5/3 sqrt3`

`x^2 + y^2 = 25/3 ^^ x = 2` geeft `y^2 = 13/3` dus `y = +- sqrt(13/3)` .

`x^2 + y^2 = r^2 ^^ x = text(-)3 ^^ y = 2` geeft `r^2 = 13` en dus `r = +- sqrt13` .
De bijbehorende `z` -waarden zijn `z = +- (sqrt13)/(tan(1/6 pi)) = +- sqrt39` .

`x^2 + y^2 = r^2 ^^ r = z * tan(1/6 pi)` geeft `x^2 + y^2 = 1/3 z^2` .

`x^2 + y^2 = z^2 tan^2(varphi)`

`y^2 + z^2 = x^2 * tan^2(1/4 pi)` geeft `y^2 + z^2 = 1/2 x^2` .

Je krijgt dan `y^2 + z^2 = 0` met `x` onbeperkt. Dit stelt een cirkel met straal `0` , dus een punt, voor dat over de `x` -as beweegt.

`0 lt varphi lt 1/2 pi`

`(x-1)^2 + (z-3)^2 = (y-2)^2 * tan^2(varphi)` en `(2, 0, 0)` invullen geeft `tan^2(varphi) = 2,5` .
Dus je krijgt `(x-1)^2 + (z-3)^2 = 2,5(y-2)^2` .

Ja, `x = c` geeft `c^2 + y^2 = z^2 * tan^2(varphi)` en dus `z^2 tan^2(varphi) - y^2 = c^2` en dit is de vergelijking van een hyperbool.

Als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel gelijk is aan de halve tophoek.

Ellips als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel groter is dan de halve tophoek.
Cirkel als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel gelijk is aan `1/2 pi` .
Bij a en b zie je de situaties voor de hyperbool en de parabool.

Je hebt de top nodig voor het bepalen van `vec(TP)` .

Invullen in de vergelijking geeft `(5-2)^2+4^2=(2+3)^2` , dus `3^2+4^2=5^2` . En dat is waar.

Omdat de normaalvector moet liggen in een verticaal vlak door `T` , moet hij de vorm `vec(n)=((3),(4),(a))` hebben en loodrecht op `vec(TP) = ((3),(4),(5))` staan.

Omdat `((3),(4),(a)) * vec(TP) = 0` is `9 + 16 + 5a = 0` , zodat `a=text(-)5` .

Dus `vec(n)=((3),(4),(text(-)5))` en vergelijking vlak `3x + 4y - 5z = 21` (punt `P` invullen).

`tan^2(varphi) = 0,5` , dus `tan(varphi) = 1/2 sqrt2` .

Omdat `z=v` en `(|OQ|)/v = tan(varphi)` is `|OP'| = 1/2 v sqrt2` ( `v` kan ook negatief zijn, dan moet je nog met mintekens rekenen).

Dan is `x = |OR| = 1/2 v sqrt2 cos(u)` en `y = |RP'| = 1/2 v sqrt2 sin(u)` (ook hier moet je weer op eventuele mintekens letten).

Invullen en nagaan dat de uitdrukking voor elke `u, v` klopt.

`(x, y, z) = (v tan(varphi) cos(u), v tan(varphi) sin(u), v)` .

`x^2 + z^2 = a(y + 2)^2` en door `(3, 4, 5)` geeft `a = 34/36` . Dus `x^2 + z^2 = 34/36 (y + 2)^2` .

`(x-2)^2 + (y-4)^2 = tan(1/4pi) z^2` , dus `(x-2)^2 + (y-4)^2 = z^2` .

De top moet wel `(2, 4, 0)` zijn en de lijn die het raakvlak en de kegel gemeen hebben heeft vectorvoorstelling `((x),(y),(z)) = ((2),(4),(0)) + t ((text(-)1),(text(-)1),(1))` . En dus is `tan(varphi) = (sqrt2)/1 = sqrt2` . De vergelijking is daarom `(x-2)^2 + (y-4)^2 = 2z^2` .

Doen. Laat zien hoe je de vergelijking $\frac{z^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$ kunt vinden.

`x^2 + y^2 = 0,25z^2` en `x + z = 3` geeft `x^2 + y^2 = 0,25(3 - x)^2` ofwel `0,75x^2 + 1,5x + y^2 = 2,25` en dus `3(x + 1)^2 + 4y^2 = 15` . Dit is de vergelijking van een ellips.

Ja, zolang `p != 0` . Omdat dit vlak een grotere hoek met de as van de kegel maakt dan de halve tophoek.

Van dit vlak is de normaalvector `((2),(0),(1))` , het is evenwijdig met de `y` -as en het gaat niet door de oorsprong. De hoek tussen de normaalvector en de `z` -as (de as van de kegel) bereken je met het inproduct van `((2),(0),(1))` en `((0),(0),(1))` . Hier komt `~~ 63,43^@` uit. Dus de hoek tussen het vlak en de as van de kegel is `varphi ~~ 26,57^@` en dit komt overeen met `tan(varphi) = sqrt(0,25) = 1/2` .

Vul `x = text(-)1/2 z + 3` in de vergelijking van de kegel in. Je vindt `(text(-)1/2 z + 3)^2 + y^2 = 0,25z^2` ofwel `y^2 = 3z - 9` . Dit is de vergelijking van een parabool in het gegeven vlak.

Schrijf de vergelijking als `(x+2)^2 + (z+2)^2 = 0,5(y+4)^2` . Dit is de vergelijking van een kegel met top `(text(-)2, text(-)4, text(-)2)` en een as evenwijdig aan de `y` -as.
Voor de halve tophoek `varphi` geldt `tan(varphi) = sqrt(0,5) = 1/2 sqrt2` , dus `varphi ~~ 35^@` .

De bijbehorende vergelijking is `(y-3)^2 + (z-4)^2 = 4z^2` .
Dit is een kegel door `(0, 3, 4)` met zijn as evenwijdig aan de `x` -as en halve tophoek `varphi` met `tan(varphi) = 2` .

`(x-1)^2 + (y-1)^2 = (z-4)^2` met `0 le z le 4` .

`l: ((x),(y),(z)) = ((4),(0),(2)) + t ((4),(text(-)6),(1))` .
Invullen in de vergelijking van de kegel geeft `(3+4t)^2 + (text(-)6t-1)^2 = (text(-)2+t)^2` . Deze vergelijking in `t` heeft twee oplossingen. `l` snijdt de kegel in twee punten.

`y = 0` geeft `(x-1)^2 + 1 = (z-4)^2` , ofwel `(x-1)^2 - (z-4)^2 = 1` en dit is een hyperbool. Omdat de kegel begrensd is heb je te maken met (een deel van) één tak van een hyperbool.

`x^2 + y^2 = z^2` is een kegel met `tan(varphi) = 1` , dus de tophoek is `2varphi = 1/2 pi` .

`(x,y,z) = (sin(u), cos(u), v)`

Het vlak gaat door de top `(0, 0, 0)` van de kegel en maakt een hoek van `1/4 pi` met de as van de kegel.

Eerst controleren dat `(3, 4, 5)` op de kegel ligt.
Het vlak moet de lijn door `(0, 0, 0)` en `(3, 4, 5)` bevatten en in dit laatste punt raken aan de cirkel `x^2 + y^2 = 25` , dus de vector `((text(-)4),(3),(0))` bevatten.
Het vlak heeft daarom vectorvoorstelling `((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + p ((3),(4),(5)) + q ((text(-)4),(3),(0))` .
De vergelijking is daarom `3x + 4y - 5z = 0` .

Vul in de kegelvergelijking `z = x + 2` in en je krijgt `y^2 = 4x + 4` .
Dit is een parabool waarvoor geldt `y^2 = 4x + 4 ^^ z = x + 2` .

In het `xy` -vlak geldt `z = 0` . `B` heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan `(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 0` en dat is alleen `(4, 4, 0)` . `K` heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt `(x - 4)^2 - (y - 4)^2 = 16` en dat is een hyperbool met centrum `(4, 4, 0)` en brandpunten `(4 +- 4sqrt(2), 4, 0)` .

In het `xz` -vlak geldt `y = 0` . `B` heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan `(x - 4)^2 + (z - 4)^2 = 0` en dat is alleen `(4, 0, 4)` . `K` heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt `(x - 4)^2 + (z - 4)^2 = 16` en dat is een cirkel met centrum `(4, 0, 4)` en straal `4` .

In het `yz` -vlak geldt `x = 0` . `B` heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan `(y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 0` en dat is alleen `(0, 4, 4)` . `K` heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt `(y - 4)^2 - (z - 4)^2 = 16` en dat is een hyperbool met centrum `(0, 4, 4)` en brandpunten `(0, 4 +- 4sqrt(2), 4)` .

Dat zie je meteen in de aanzichten, die hoeken zijn `90^@` .

Dan is de omtrek van de grondcirkel de helft van de omtrek `2pi R` van de cirkel met straal `R` waar de kegelmantel is uitgeknipt. De straal `r` van de grondcirkel is daarom `1/2 R` . Voor de tophoek geldt daarom `sin(varphi) = (1/2 R)/R = 0,5` en de halve tophoek is `varphi = arcsin(0,5) = 30^@` .

`10 pi` is dan de omtrek van de grondcirkel van de kegel, zodat de straal `r = 5` is. De hoogte van de kegel is daarom `sqrt(10^2 - 5^2) = sqrt(75) = 5sqrt(3)` .

`x^2 + y^2 = (z - sqrt(75))^2 * tan^2(varphi)` met `varphi = 30^@` geeft `x^2 + y^2 = 1/3(z - sqrt(75))^2` .

Grondcirkel (dus `z = 0` ) heeft vergelijking `x^2 + y^2 = 75/3 = 25` . Neem je `x = 4` , dan vind je `y = +-3` . De lijnen die de kegel gemeen heeft met de raakvlakken gaan dus behalve door `(0,0,5sqrt3)` ook door `(4, +-3, 0)` . Het raakvlak door `(0, 0, 5sqrt3)` en `(4, 3, 0)` heeft richtingsvectoren `((text(-)4),(text(-)3),(5sqrt3))` en `((3),(text(-)4),(0))` en daarom normaalvector `((4),(3),(5/3 sqrt3))` . Het raakvlak door `(0, 0, 5sqrt3)` en `(4, text(-)3, 0)` heeft richtingsvectoren `((text(-)4),(3),(5sqrt3))` en `((3),(4),(0))` en daarom normaalvector `((4),(text(-)3),(5/3 sqrt3))` . De hoek tussen beide bereken je met het inproduct, je vindt dan de hoek tussen beide vlakken: `alpha = text(arccos)(46/127)` .

Vergelijking `(x-5)^2 + (y-5)^2 = 0,25(z-10)^2` .
P.v. `(x,y,z) = ((5 - 1/2 v) * cos(u), (5 - 1/2 v) * sin(u), v)` .

`2y - z = 0` en `2x - z = 0` .

`(x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-3,4375)^2 = 6,5625^2` .

`sqrt(5^2 - ((3,4375)/(sqrt5))^2)`

Het vlak van doorsnede maakt een grotere hoek met de as van de kegel dan de halve tophoek en het is daarom een ellips.