Krommen en oppervlakken > Kegels en kegelsneden
123456Kegels en kegelsneden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

b

c

d

Opgave 1
a

b

geeft dus .

c

geeft en dus .
De bijbehorende -waarden zijn .

d

geeft .

e

Opgave 2
a

geeft .

b

Je krijgt dan met onbeperkt. Dit stelt een cirkel met straal , dus een punt, voor dat over de -as beweegt.

c

d

en invullen geeft .
Dus je krijgt .

Opgave 3
a

Ja, geeft en dus en dit is de vergelijking van een hyperbool.

b

Als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel gelijk is aan de halve tophoek.

c

Ellips als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel groter is dan de halve tophoek.
Cirkel als de hoek die het vlak waarin de doorsnede ligt maakt met de as van de kegel gelijk is aan .
Bij a en b zie je de situaties voor de hyperbool en de parabool.

Opgave 4
a

Je hebt de top nodig voor het bepalen van .

b

Invullen in de vergelijking en nagaan of hij waar wordt.

c

Doen.

Opgave 5
a

, dus .

b

Omdat en is ( kan ook negatief zijn, dan moet je nog met mintekens rekenen).

c

Dan is en (ook hier moet je weer op eventuele mintekens letten).

d

Invullen.

e

.

Opgave 6
a

en door geeft . Dus .

b

, dus .

c

De top moet wel zijn en de lijn die het raakvlak en de kegel gemeen hebben heeft vectorvoorstelling . En dus is . De vergelijking is daarom .

Opgave 7
a

Doen. Laat zien hoe je de vergelijking z 2 36 y 2 9 = 1 kunt vinden.

b

en geeft ofwel en dus . Dit is de vergelijking van een ellips.

c

Ja, zolang . Omdat dit vlak een grotere hoek met de as van de kegel maakt dan de halve tophoek.

d

Van dit vlak is de normaalvector , het is evenwijdig met de -as en het gaat niet door de oorsprong. De hoek tussen de normaalvector en de -as (de as van de kegel) bereken je met het inproduct van en . Hier komt ° uit. Dus de hoek tussen het vlak en de as van de kegel is ° en dit komt overeen met .

e

Vul in de vergelijking van de kegel in. Je vindt ofwel . Dit is de vergelijking van een parabool in het gegeven vlak.

Opgave 8
a

Schrijf de vergelijking als . Dit is de vergelijking van een kegel met top en een as evenwijdig aan de -as.
Voor de halve tophoek geldt , dus °.

b

De bijbehorende vergelijking is .
Dit is een kegel door met zijn as evenwijdig aan de -as en halve tophoek met .

Opgave 9
a

met .

b

.
Invullen in de vergelijking van de kegel geeft . Deze vergelijking in heeft twee oplossingen. snijdt de kegel in twee punten.

c

geeft , ofwel en dit is een hyperbool. Omdat de kegel begrensd is heb je te maken met (een deel van) één tak van een hyperbool.

Opgave 10
a

is een kegel met , dus de tophoek is .

b

c

Het vlak gaat door de top van de kegel en maakt een hoek van met de as van de kegel.

d

Eerst controleren dat op de kegel ligt.
Het vlak moet de lijn door en bevatten en in dit laatste punt raken aan de cirkel , dus de vector bevatten.
Het vlak heeft daarom vectorvoorstelling .
De vergelijking is daarom .

e

Vul in de kegelvergelijking in en je krijgt .
Dit is een parabool waarvoor geldt .

Opgave 11
a

Zie figuur.

b

In het geldt . heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan en dat is alleen . heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt en dat is een hyperbool met centrum en brandpunten .

In het geldt . heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan en dat is alleen . heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt en dat is een cirkel met centrum en straal .

In het geldt . heeft daar de punten mee gemeen die voldoen aan en dat is alleen . heeft daar de punten mee gemeen waarvoor geldt en dat is een hyperbool met centrum en brandpunten .

c

Dat zie je meteen in de aanzichten, die hoeken zijn °.

Opgave 12
a

Dan is de omtrek van de grondcirkel de helft van de omtrek van de cirkel met straal waar de kegelmantel is uitgeknipt. De straal van de grondcirkel is daarom . Voor de tophoek geldt daarom en de halve tophoek is °.

b

is dan de omtrek van de grondcirkel van de kegel, zodat de straal is. De hoogte van de kegel is daarom .

c

met ° geeft .

d

Grondcirkel (dus ) heeft vergelijking . Neem je , dan vind je . De lijnen die de kegel gemeen heeft met de raakvlakken gaan dus behalve door ook door . Het raakvlak door en heeft richtingsvectoren en en daarom normaalvector . Het raakvlak door en heeft richtingsvectoren en en daarom normaalvector . De hoek tussen beide bereken je met het inproduct, je vindt dan de hoek tussen beide vlakken: .

Opgave 13
a

De kegel heeft vergelijking en gaat door , dus . Dit betekent dat de vergelijking is.
De bijbehorende p.v. is .

b

Deze raakvlakken gaan door en en raken aan de cirkel in het -vlak. Ze gaan daarom door of door .
Het raakvlak door , en heeft vergelijking .
Het raakvlak door , en heeft vergelijking .

c

Teken het vooraanzicht (in de -richting) en bereken met behulp van de SvP de straal van de bol: . Dit geeft . Het middelpunt van die bol is .
De vergelijking is .

d

Vlak heeft vergelijking .
Bereken de afstand van het middelpunt van de bol tot dit vlak. (Loodlijn door loodrecht op het vlak, snijpunt met het vlak uitrekenen en berekenen.) Die afstand is .
De straal van de snijcirkel is daarom .

e

Eenvoudig gezegd: het vlak van doorsnede maakt een grotere hoek met de as van de kegel dan de halve tophoek en het is daarom een ellips.

verder | terug